Theo tính chất trọng tâm ta có: \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)

Mặt khác AM là trung tuyến nên: \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)\Rightarrow3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) (1)

K là trung điểm AB, N là trung điểm AC nên: \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AK}\\\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AN}\end{matrix}\right.\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow3\overrightarrow{AG}=2\left(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AN}\right)\)

+ K là trung điểm của BC nên ta có:

+ M là trung điểm AC nên ta có:

+ Lại có 

Cộng (1) với (3) ta được  ,

kết hợp với (2) ta được hệ phương trình: 

Giải hệ phương trình ta được

Lời giải:

Ta có:

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{MN}\)

Vì $AM,BN$ là trung tuyến nên $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC, AC$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với $AB$

\(\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). Do đó:

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{BN}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{BN}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}\)

Hình vẽ:

Ta có: 

Theo quy tắc ba điểm ta có:

Lấy (1) trừ 3 lần (2) ta được:

Lời giải:
a. 

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (tính chất hình bình hành)

b.

$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$

c. 

$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$

$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$

Ta có ABMN là tứ giác có hai đường chéo AM và BN vuông góc

nên có diện tích là: S_ABMN = 1 2 AB.MN

Hai tam giác AMC và ABC có chung đường cao hạ từ A

nên S A M C S A B C = M C B C = 1 2

=> S_AMC =  1 2 S_ABC (1)

Hai tam giác AMN và AMC có chung đường cao hạ từ M

nên S A M N S A M C = A N A C = 1 2

=> S_AMB =  1 2 S_ABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra S_AMN = 1 4 S_ABC

Hai tam giác AMB và ABC có chung đường cao hạ từ A

nên S A M B S A B C = B M B C = 1 2

=> S_AMB =  1 2 S_ABC

Ta có: S_ABMN = S_AMN + S_ABM

=  1 4 S_ABC + 1 2 S_ABC = 3 4 S_ABC

=> S_ABC = 4 3 S_ABMN =  4 3 .AM. 1 2 BN = 2 3 AM.BN

Đáp án cần chọn là: D

Tứ giác ẠBMN có hai đường chéo vuông góc.

Ta có: S A B M N = 1/2 AM.BN

∆ ABM và  ∆ AMC có chung chiều cao kể từ A, cạnh đáy BM = MC nên: S A B M  =  S A M C  = 1/2 S A B C

∆ MNA và  ∆ MNC có chung chiều cao kê từ M, cạnh đáy AN = NC nên:  S M A N  =  S M N C  = 1/2  S A M C  = 1/4  S A B C

S A B M N  =  S A B M  +  S M N A  = 1/2  S A B C  + 1/4  S A B C  = 3/4  S A B C

Vậy  S A B C  = 4/3  S A B M N  = 4/3 .1/2 .AM.BN = 2/3 AM.BN