Cho \(a,b\ge0.\)Chứng minh:
\(\frac{a+b}{1+a+b}\le\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}\)
Giải giùm mình nhé, cảm ơn các bạn nhiều! ^^
chứng minh bất đẳng thức sau ;
\(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\ge8\) với \(\left(\forall a,b,c>0\right)\)
các bạn giải chi tiết ra giùm mình nhé! cảm ơn nhiều à nhen !
Dat \(P=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)
Ta co: \(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Ta d̃i CM:\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Ta co:\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\left(dpcm\right)\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c\)
Cho: \(\frac{1}{h}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Chứng minh: \(\frac{a}{b}=\frac{a-h}{h-b}\)
(Các bạn làm ơn giúp mình với nhé, mình đang cần gấp lắm. Ai trả lời đúng, chi tiết và nhanh nhất, mình sẽ tick cho bạn đó. Cảm ơn các bạn nhiều lắm)
1/h=1/2(1/a+1/b)=1/2a+1/2b=(a+b)/2ab
=>(a+b/)2ab-1/h=0
quy dong len ta co
(a+b)h/2abh-2ab/2abh=0=> (ah+bh-2ab)/2abh=0 =>ah+bh-2ab=0
=>ah+bh-ab-ab=0
=>a(h-b)-b(a-h)=0
=>a(h-b)=b(a-h)
=>a/b=(a-h)(h-b)
Cho các số \(a,b,c>0\)biết\(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\le1\)
Chứng minh \(a.b.c\le\frac{1}{8}\)
Mn giải nhanh giùm mình nhé. MÌNH CẦN RẤT GẤP!!!
\(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=3-\frac{1}{1+a}-\frac{1}{1+b}-\frac{1}{1+c}\le1\)
\(\Rightarrow T\frac{1}{1+a}\ge2\Rightarrow\frac{1}{1+a}\ge1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
T là pháp cộng với b,c luôn nha, lười ghi.
Tương tự ta có:\(\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\) và với c nữa
Nhân vế theo vế ta có đpcm
Cho các số thực a,b,c>0 thoae mãn a+b+c=3. Chứng minh:
\(N=\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{a+c}+\frac{3+c^2}{a+b}\ge6\)
các bạn giải chi tiết ra giùm mình nha! mình cảm ơn nhiều !
\(N=3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)\)
\(\ge\frac{27}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=6^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b =c = 1
Ta có đánh giá \(\frac{3+a^2}{3-a}\ge2a\) \(\forall a:0< a< 3\)
Thật vật, biến đổi tương đương: \(\Leftrightarrow3+a^2\ge2a\left(3-a\right)\Leftrightarrow3\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự: \(\frac{3+b^2}{3-b}\ge2b\) ; \(\frac{3+c^2}{3-c}\ge2c\)
Cộng vế với vế: \(N\ge2\left(a+b+c\right)=6\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Ta có:
\(\frac{3+a^2}{b+c}=\frac{a^2+a+b+c}{b+c}=\frac{a^2+a}{b+c}+1=\frac{a^2}{b+c}+\frac{a}{b+c}+1\)
Tương tự,ta có:
\(\frac{3+b^2}{a+c}=\frac{b^2}{a+c}+\frac{b}{a+c}+1\)
\(\frac{3+c^2}{a+b}=\frac{c^2}{a+b}+\frac{c}{a+b}+1\)
Cộng vế theo vế của các đẳng thức,ta có:
\(N=3+\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\right)+\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz và BĐT Nesbitt,ta có:
\(N\ge3+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{3}{2}\)
\(=6\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=16\)
Chứng minh rằng:\(\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{3b+2c+a}+\frac{1}{3c+2a+b}\le\frac{8}{3}\)
#giúp mình nhé! Cảm ơn *cúi*
\(\frac{1}{3a+2b+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\) )cái này bn tự cm nha bằng hệ quả của bunhia
tương tự :\(\frac{1}{3b+2c+a}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\frac{1}{3c+2a+b}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{c}+\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Công tất cả các vế vs nhau:\(\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{3b+2c+a}+\frac{1}{3c+2a+b}\le\frac{1}{36}\left(\frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c}\right)\)=1/36 x96=8/3
à còn phần mik dùng bunhia sao ra dc thế nè :\(\frac{1}{3a+2b+c}=\frac{1}{a+a+a+b+b+c}\)
\(=\frac{1}{36}\left(\frac{36}{a+a+a+b+b+c}\right)\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)\(=\frac{1}{36}\left(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Giúp mình mấy câu này với nhé các ban.
1) Cho a,b,c>0 cmr:\(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a^2}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}\)
2)Cho a,b,c>0 và abc=1. Cmr:\(\sqrt{\frac{a}{4a+4b+1}}+\sqrt{\frac{b}{4b+4c+1}}+\sqrt{\frac{c}{4c+4a+1}}\le1\)
3)Cho a,b,c>0 tm a+b+c=3 Cmr \(\frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2}\le\frac{3}{4}\)
Mình cảm ơn các bạn nhiều
Bài 1:
Đặt \(a^2=x;b^2=y;c^2=z\)
Ta có:\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Áp dụng BĐT cô si ta có:
\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}\right]\)
Tương tự với \(\sqrt{\frac{y}{y+z}}\)và \(\sqrt{\frac{z}{z+x}}\)
Cộng lại ta được:
\(\frac{\sqrt{2}}{3}\left[\frac{x\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right]+\frac{3}{2\sqrt{2}}\le\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
Sau đó bình phương hai vế rồi
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)đẳng thức đúng
Vậy...
Bài 2:
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\le\frac{1}{3}\)
Nhân cả hai vế bđt với 4(a+b+c)4(a+b+c) rồi thu gọn ta được bđt sau:
\(\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+c}+\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}+\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}\)\(\le\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\left[\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+}-a\right]+\left[\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}-b\right]+\left[\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}-c\right]\le\frac{a+b+c}{3}\)
\(\frac{ca}{4a+4b+c}+\frac{ab}{4b+4c+a}+\frac{bc}{4c+4a+b}\le\frac{a+b+c}{9}\)
Áp dụng bđt cauchy-Schwarz ta có \(\frac{ca}{4a+4b+c}=\frac{ca}{\left(2b+c\right)+2\left(2a+b\right)}\)\(\le\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b}\right)\)
Từ đó ta có:
\(\text{∑}\frac{ca}{4a+4b+c}\le\frac{1}{9}\text{∑}\left(\frac{ca}{2b+c}+\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ab}{2b+c}\right)=\frac{a+b+c}{9}\)
Đặt VT=A rồi áp dụng bđt cauchy-Schwarz cho VT ta có
\(T^2\le3\left(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\right)\)\(\le3\cdot\frac{1}{3}=1\Leftrightarrow T\le1\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
c bạn tự làm nhé mình mệt rồi :D
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=6 . Chứng minh rằng :
\(\frac{ab}{6+a-c}+\frac{bc}{6+b-c}+\frac{ca}{6+c-b}\le2\)
các bạn làm bài này bằng nhiều cách giúp mình nhé và các bạn cũng có thể trả lời cho mình bằng những câu hỏi tương tự . cảm ơn các bạn nhiều :))
sr tui ko có câu hỏi tương tự tui chỉ có câu hỏi y hệt thôi Xem câu hỏi
Cho \(a,b,c\ge0\)Chứng minh \(3\le\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{b}+1}+\frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{c}+1}+\frac{\sqrt{c}+1}{\sqrt{a}+1}\le a+b+c+3\)
cho a,b,c là độ dài 3 cạnh cuả tam giác. Chứng minh \(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^{^2}+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{a+b+c}{2abc}\)
giaỉ bài này hộ mình nha,, mình cảm ơn nhìu :))