Cho 2 số dương a, có tổng bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\left(1-\frac{4}{b^2}\right)\)
Những câu hỏi liên quan
Cho 2 số dương a, b có tổng bằng 2. Tính giá trị nhoe nhất của biểu thức:
\(\left(1-\frac{4}{a^2}\right).\left(1-\frac{4}{b^2}\right)\)
Bg
Hai số dương a, b có tổng bằng 2 --> a = 1 và b = 1 (vì 2 = 2 + 0 = 1 + 1; số dương là số > 0 nên a = 1 và b = 1)
Thay giá trị của a và b vào:
\(\left(1-\frac{4}{a^2}\right).\left(1-\frac{4}{b^2}\right)=\left(1-\frac{4}{1^2}\right).\left(1-\frac{4}{1^2}\right)=\left(1-4\right).\left(1-4\right)=-3.\left(-3\right)=9\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên là 9.
Bài làm:
Ta có: \(\left(1-\frac{4}{a^2}\right).\left(1-\frac{4}{b^2}\right)=\frac{a^2-4}{a^2}.\frac{b^2-4}{b^2}=\frac{\left(a-2\right)\left(a+2\right)}{a^2}.\frac{\left(b-2\right)\left(b+2\right)}{b^2}\left(1\right)\)
Thay \(2=a+b\)vào \(\left(1\right)\)
\(\left(1\right)=\frac{\left(a-a-b\right)\left(a+a+b\right)}{a^2}.\frac{\left(b-a-b\right)\left(b+a+b\right)}{b^2}\)
\(=\frac{\left(-b\right).\left(2a+b\right)}{a^2}.\frac{\left(-a\right).\left(2b+a\right)}{b^2}\)
\(=\frac{\left(2a+b\right)\left(2b+a\right)}{ab}\)
\(=\frac{2a^2+2b^2+5ab}{ab}\ge\frac{4ab+5ab}{ab}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=1\)
Vậy Min=9 khi a=b=1
Bạn Trần Công Mạnh nó là số dương chứ không phải là số nguyên dương nên chưa thể kết luận a=b=1 để thay vào ngay ạ!
Xem thêm câu trả lời
Cho 2 số dương a,b có tổng bằng 2 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\left(1-\frac{4}{b^2}\right)\)
\(P=\frac{\left(4-a^2\right)\left(4-b^2\right)}{a^2b^2}=\frac{\left[\left(a+b\right)^2-a^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-b^2\right]}{a^2b^2}\)
\(=\frac{b\left(2a+b\right).a\left(a+2b\right)}{a^2b^2}=\frac{\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)}{ab}=\frac{2a^2+2b^2+5ab}{ab}=2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+5\ge2.2\sqrt{\frac{ab}{ab}}+5=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
cho a,b,c la các số thực dương thoả mãn 2(a+b)+b=12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P= \(\frac{1}{\left(a+3\right)^2}+\frac{4}{\left(b+4\right)^2}+\frac{8}{\left(c+5\right)^2}\)
22 tháng 4 2020 lúc 17:41
Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn \(\frac{ac\left(b-1\right)}{b\left(a+c\right)}=\frac{4}{3}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{2\left(a+b\right)^2}{2a+3b}+\frac{\left(b+2c\right)^2}{2b+c}+\frac{\left(2c+a\right)^2}{c+2a}\)
1. Cho số nguyên dương x, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:Pdfrac{left(x+1right)^6}{left(x^3+7right)left(x^3+3x^2+4right)}. 2. Cho a,bge0 thỏa mãn a-sqrt{a}sqrt{b}-b, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:Mleft(a-bright)left(a+b-1right). 3. Cho Delta OEF vuông tại O có OEa, OFb, EFc và widehat{OEF}alpha, widehat{OFE}beta.1)i, Chứng minh rằng không có giá trị nào của a,b,c để biểu thức Adfrac{a+b}{c}+dfrac{c}{a+b} nhận giá trị nguyên.ii, Giả sử csqrt{ab}sqrt{2} , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức...
Đọc tiếp
1. Cho số nguyên dương x, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{\left(x+1\right)^6}{\left(x^3+7\right)\left(x^3+3x^2+4\right)}\).
2. Cho \(a,b\ge0\) thỏa mãn \(a-\sqrt{a}=\sqrt{b}-b\), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(M=\left(a-b\right)\left(a+b-1\right)\).
3. Cho \(\Delta OEF\) vuông tại O có \(OE=a\), \(OF=b\), \(EF=c\) và \(\widehat{OEF}=\alpha\), \(\widehat{OFE}=\beta\).
1)
i, Chứng minh rằng không có giá trị nào của a,b,c để biểu thức \(A=\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{c}{a+b}\) nhận giá trị nguyên.
ii, Giả sử \(c\sqrt{ab}=\sqrt{2}\) , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B=\left(a+b\right)^2\).
2)
i, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(C=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}+\dfrac{1}{\sin^2\beta}-2\left(\sin^2\alpha+\sin^2\beta\right)+\dfrac{\sin\alpha}{\tan\alpha}-\dfrac{\tan\alpha+\cos\beta}{\cot\beta}\) .
ii, Tìm điều kiện của \(\Delta OEF\) khi \(2\cos^2\beta-\cot^2\alpha+\dfrac{1}{\sin^2\alpha}=2\).
Cho biểu thức \(A=\left(\frac{4}{2x+1}+\frac{4x-3}{\left(x^2+1\right)\left(2x+1\right)}\right)\frac{x^2+1}{x^2+2}\)
a/ Rút gọn biểu thức A
b/ Tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất của A
a, \(A=\left(\frac{4}{2x+1}+\frac{4x-3}{\left(x^2+1\right)\left(2x+1\right)}\right)\frac{x^2+1}{x^2+2}\)
\(=\left(\frac{4\left(x^2+1\right)}{\left(2x+1\right)\left(x^2+1\right)}+\frac{4x-3}{\left(x^2+1\right)\left(2x+1\right)}\right)\frac{x^2+1}{x^2+2}\)
\(=\left(\frac{4x^2+4+4x-3}{\left(x^2+1\right)\left(2x+1\right)}\right)\frac{x^2+1}{x^2+2}\)
\(=\frac{\left(2x+1\right)^2}{\left(x^2+1\right)\left(2x+1\right)}\frac{x^2+1}{x^2+2}=\frac{2x+1}{x^2+2}\)
cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b<_c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
3 tháng 1 lúc 16:15
Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\left|\dfrac{1}{a}-1\right|+\left|\dfrac{1}{b}-1\right|+\left|\dfrac{1}{c}-1\right|\)
Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
\(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\)
Vì ( a - b )2 \(\ge\)0 \(\forall\)a,b \(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\). Mà ab = 4 \(\Rightarrow a^2+b^2\ge8\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\ge\frac{\left(a+b-2\right).8}{a-b}\)
Đặt t = a + b \(\Rightarrow t\ge4\)( Do \(a+b\ge2\sqrt{ab}=4\))
\(\frac{\left(t-2\right).8}{t}=\frac{8t-16}{t}=8-\frac{16}{t}\)
Vì \(t\ge4\Rightarrow\frac{16}{t}\le\frac{16}{4}\Rightarrow-\frac{16}{t}\ge-4\Rightarrow\left(8-\frac{16}{t}\right)\ge8-4=4\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\ge4\)Dấu '' = '' xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\a,b=4\end{cases}\Leftrightarrow a=b=2}\)
Vậy \(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\)min \(\Leftrightarrow a=b=2\)