Gọi tam giác đề bài cho là ΔABC có BD,CE là các trung tuyến, BD=CE. Cần chứng minh ΔABC cân tại A

Gọi G là giao điểm của BD và CE

Xét ΔABC có

BD,CE là trung tuyến

BD cắt CE tại G

=>G là trọng tâm

=>GB=2/3BD và GC=2/3CE

mà BD=CE

nên GB=GC

=>góc GBC=góc GCB

Xét ΔDBC và ΔECB có

BC chung

góc DBC=góc ECB

DB=EC

=>ΔDBC=ΔECB

=>góc DCB=góc EBC

=>ΔABC cân tại A

Gọi Δ ABC có trung tuyến BM = CN, G là trọng tâm Δ (giao điểm các trung tuyến)
Ta có :
GB = 2/3.BM
GC = 2/3.CN
Mà BM = CN => GB = GC
=> Δ BGC cân tại G
=> ∠ MBC = ∠ NCB
Xét Δ BMC và Δ CNB :
BM = CN
∠ MBC = ∠ NCB
BC là cạnh chung
=> Δ BMC = Δ CNB (c - g - c)
=> ∠ MCB = ∠ NBC
hay ∠ ACB = ∠ ABC
=> Δ ABC cân tại A (đpcm)

Có:

\(\dfrac{S_{DAO}}{S_{ABO}}=\dfrac{DO}{BO}=\dfrac{S_{CDO}}{S_{BCO}}\) , tức là \(S_{DAO}.S_{BCO}=S_{ABO}.S_{CDO}\)

Do đó:

\(S_{ABO}.S_{BCO}.S_{CDO}.S_{DAO}=\left(S_{DAO}+S_{BCO}\right)^2\)

Vậy tích các số đo diện tích của các tam giác ABO, BCO, CDO, DAO là một số chính phương.

xét tam giác BFC và tg CKB 
\(gBFC=gCKB\left(gt\right)\\ CF=BK\left(gt\right)\\ BC:CHUNG\) 
=> 2 tg bằng nhau (c-g-c) 
=> góc FBC = góc KCB(2 góc t/ư) 
chứng minh tương tự với tg FBC và  tg KAB (c-g-c) 
=> gBAC = gABC (2 góc t/ư ) 
=> gBAC = gABC = gACB = \(\dfrac{180}{3}\) = 60^o 
=> tg ABC đều 

Câu 1 : ( mình đặt cho dễ viết nha )

Vì \(\Delta\)ABC vuông tại A ( gt )

=> \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\)( vì trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau )

=> \(\hept{\begin{cases}\widehat{ABC}=90^o-\widehat{ACB}\\\widehat{ACB}=90^o-\widehat{ABC}\end{cases}}\)mà ABC , ACB > 0

=> 90^o > ACB , 90^o > ABC

hay BAC > ACB , BAC > ABC

Xét tam giác abc có BAC > ACB , BAC > ABC ( CMt )

=> BC là cạnh lớn nhất trong tam giác ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác ) ( dpcm )

Cạnh đối diện với góc vuông gọi là cạnh huyền. Hai cạnh kề với góc vuông là cạnh bên (hay còn gọi là cạnh góc vuông). Cạnh a có thể xem là kề với góc B và đối góc A, trong khi cạnh b kề góc A và đối góc B.

Nếu chiều dài của ba cạnh là các số nguyên, tam giác được gọi là tam giác Pythagore và chiều dài ba cạnh của nó được gọi chung là Bộ ba số Pythagore.

Ví dụ nè tam giác ABC vuông tại A nha

=) góc A = 90 độ

Vì tam giác ABC vuông tại A 

=) góc B + góc C = 90 độ

=) góc A > góc B và góc A > góc C

=) góc A là góc lớn nhất 

=) BC là cạnh lớn nhất ( ...... )

Câu 2 :

Bài làm :

Vì AH là đường cao của tam giác ABC ứng với cạnh BC ( GT )

=> AH \(\perp\)BC

AHB = AHC = 90^o

Vì AH là đường trung tuyến của tam giác AB ( GT )

=> H là trung điểm của BC ( định nghĩa đường trung tuyến của tam giác )

=> HB = HC 

Xét tam giác AHB và tam giác AHC có :

AHB = AHC ( = 90^o ) ( CMT )

AH : cạnh chung

HB = HC ( CMT )

DO đó tam giác AHB = tam giác AHC ( c . g . c )

=> AB = AC ( hai cạnh tương ứng )

=> tam giác ABC cân tại A ( định nghĩa tam giác cân )

Vậy ...

Giả sử ΔABC có hai đường trung tuyến BD và CE bằng nhau.

Gọi I là giao điểm BD và CE, ta có:

BI = 2/3 BD (tính chất đường trung tuyến) (1)

CI = 2/3 CE (tính chất đường trung tuyến) (2)

Từ (1), (2) và giả thiết BD = CE suy ra: BI = CI

Do BD = CE suy ra: BI + ID = CI + IE

Mà BI = CI ( chứng minh trên) nên : ID = IE

Xét ΔBIE và ΔCID, ta có:

BI = CI (chứng minh trên)

∠(BIE) = ∠(CID) (đối đỉnh)

IE = ID (chứng minh trên)

Suy ra: ΔBIE = ΔCID (c.g.c)

Suy ra: BE = CD (hai cạnh tương ứng) (3)

Lại có: BE = 1/2 AB (vì E là trung điểm AB) (4)

CD = 1/2 AC (vì D trung điểm AC) (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: AB = AC.

Vậy tam giác ABC cân tại A.