Cho x,y là các số thực. Tìm GTLN của biểu thức: \(P=\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(1-x^2y^2\right)}{\left(1+x^2\right)^2\left(1+y^2\right)^2}\)
Cho x, y là các số thực không âm. Tìm GTLN của biểu thức:
\(P=\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(1-x^2y^2\right)}{\left(1+x^2\right)^2\left(1+y^2\right)^2}\)
đặt \(a=x^2,b=y^2\left(a,b\ge0\right)\)thì \(P=\frac{\left(a-b\right)\left(1-ab\right)}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2}\)
Zì \(a,b\ge0\)nên
\(\left(a-b\right)\left(1-ab\right)=a-a^2b-b+ab^2\le a+ab^2=a\left(1+b^2\right)\le a\left(1+2b+b^2\right)=a\left(1+b\right)^2\)
Lại có \(\left(1+a\right)^2=\left(1-a\right)^2+4a\ge4a\)
=>\(P\le\frac{a\left(1+b\right)^2}{4a\left(1+b\right)^2}=\frac{1}{4}\)
dấu "=" xảy ra khi zà chỉ khi\(\hept{\begin{cases}a=1\\b=0\end{cases}=>\hept{\begin{cases}x=\pm1\\y=0\end{cases}}}\)
zậy \(maxP=\frac{1}{4}khi\hept{\begin{cases}x=\pm1\\y=0\end{cases}}\)
Cho các x,y là các số thực. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
P = \(\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(1-x^2y^2\right)}{^{\left(1+x^2\right)^2}\left(1+y^2\right)^2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\left(x^2-y^2\right)\left(1-x^2y^2\right)\le\frac{1}{4}\left(x^2-y^2+1-x^2y^2\right)^2=\frac{1}{4}\left(1-y^2\right)^2\left(1+x^2\right)^2\)
\(P\le\frac{1}{4}\frac{\left(1-y^2\right)^2}{\left(1+y^2\right)^2}\)
mà theo BĐT AM-GM:\(\left(1-y\right)\left(1+y\right)\le\frac{1}{4}\left(1-y+1+y\right)^2=1\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{4}.\frac{1}{\left(1+y^2\right)^2}\le\frac{1}{4}.\frac{1}{1}=\frac{1}{4}\)
Dấu = xảy ra khi x=1;y=0 wait : có gì đó sai sai. số thực
cho x+2y và 2x+y là 2 số thực dương khác 2.tìm Min của biểu thức:
\(P=\frac{\left(2x^2+y\right)\left(4x+y^2\right)}{\left(2x+y-2\right)^2}+\frac{\left(2y^2+x\right)\left(4y+x^2\right)}{\left(2y+x-2\right)^2}-3\left(x+y\right)\)
CHo x,y là các số thực không âm Tím max của biểu thức
\(P=\dfrac{\left(x^2-y^2\right)\left(1-x^2y^2\right)}{\left(1+x^2\right)^2\left(1+y^2\right)^2}\)
\(\left(x^2;y^2\right)=\left(a;b\right)\Rightarrow P=\dfrac{\left(a-b\right)\left(1-ab\right)}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2}\)
Ta có:
\(\left(a+b\right)\left(1+ab\right)-\left(a-b\right)\left(1-ab\right)=2b\left(a^2+1\right)\ge0;\forall a;b\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(1+ab\right)\ge\left(a-b\right)\left(1-ab\right)\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2}\le\dfrac{\left(a+b+1+ab\right)^2}{4\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2}=\dfrac{1}{4}\)
\(P_{max}=\dfrac{1}{4}\) khi \(\left(a;b\right)=\left(1;0\right)\) hay \(\left(x;y\right)=\left(1;0\right)\)
\(P=\dfrac{\left[\left(x-y\right)\left(1+xy\right)\right]\left[\left(x+y\right)\left(1-xy\right)\right]}{\left(1+x^2\right)^2\left(1+y^2\right)^2}\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
\(\left(x-y\right)\left(1+xy\right)\le\dfrac{\left(x-y\right)^2+\left(1+xy\right)^2}{2}=\dfrac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{2}\\ \left(x+y\right)\left(1-xy\right)\le\dfrac{\left(x+y\right)^2+\left(1-xy\right)^2}{2}=\dfrac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{2}\)
\(\to P\le\dfrac{\left(1+x^2\right)^2\left(1+y^2\right)^2}{4\left(1+x^2\right)^2\left(1+y^2\right)^2}=\dfrac{1}{4}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(1;0\right)\)
Cho biểu thức:
\(P=\frac{\left(x^2+y\right)\left(y+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}\left(y+\frac{1}{3}\right)+x^2y^2}{\left(x^2-y\right)\left(1-y\right)+x^2y^2+1}\)
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của biểu thức P với các số nguyên dương x;y thỏa mãn: 1! + 2! +...+ x! = y2
x, y là 2 số không âm thay đổi. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
\(F=\frac{\left(x-y\right)\left(1-xy\right)}{\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2}\)
Cho x,y là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\left(x+2y+1\right)^2+\left(x+2y+5\right)^2\)
Đặt \(x+2y+1=a\)
\(P=a^2+\left(a+4\right)^2=2a^2+8a+16=2\left(a+2\right)^2+8\ge8\)
1) Tìm GTNN của \(B=2\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)-5\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\\ \left(x,y>0\right)\)
2) Tìm GTLN và GTNN của \(C=\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(1-x^2y^2\right)}{\left(1+x^2\right)^2\left(1+y^2\right)^2}\)
cho 3 số thực dương x;y;z thỏa mãn x+y+z<=3/2. tìm GTNN của biểu thức:
\(p=\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2.\left(yz+1\right)^2.\left(zx+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}=A\)
Ta có \(A=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{zx+1}{z}\right)}=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(A\ge3\sqrt[3]{8\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}}=3.2=6\)
\(\Rightarrow P\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=\(\frac{1}{2}\)
Làm tiếp bài ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★ chớ hình như bị ngược dấu ó.Do mình gà nên chỉ biết cô si mù mịt thôi ạ
\(3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
\(=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}\right)\left(z+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}\right)\left(x+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}\right)}\)
\(\ge3\sqrt[3]{5\sqrt[5]{\frac{y}{256x^4}}\cdot5\sqrt[5]{\frac{z}{256y^4}}\cdot5\sqrt[5]{\frac{x}{256z^4}}}\)
\(=3\sqrt[3]{125\sqrt[5]{\frac{xyz}{256^3\left(xyz\right)^4}}}\)
\(=15\sqrt[3]{\sqrt[5]{\frac{1}{256^3\left(xyz\right)^3}}}\)
\(\ge15\sqrt[15]{\frac{1}{256^3\cdot\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^9}}\)
\(\ge15\sqrt[15]{\frac{1}{256^3\cdot\frac{1}{2^9}}}=\frac{15}{2}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Không phải ngược đâu nha mọi người,dấu bằng không xảy ra nhé!