Cho x,y,z là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của:
\(Q=\frac{xy}{x^2+xy+yz}+\frac{yz}{y^2+yz+zx}+\frac{zx}{z^2+zx+xy}\)
cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn \(\frac{xy}{x+y}=\frac{yz}{y+z}=\frac{zx}{z+x}\)
tính giá trị biểu thức \(M=\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)
Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn \(x+y+z=1\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(S=\frac{xy+yz+zx-xyz}{xy+yz+zx+xyz+2}\)
\(xy+yz+zx-xyz=1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz\)
\(=\left(1-x\right)-y\left(1-x\right)-z\left(1-x\right)+yz\left(1-x\right)\)
\(=\left(1-x\right)\left(1-y-z+yz\right)=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)
\(xy+yz+zx+xyz+2=1+x+y+z+xy+yz+zx+xyz\)
\(=\left(1+x\right)+y\left(1+x\right)+z\left(1+x\right)+yz\left(1+x\right)\)
\(=\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\)
\(1+x+y+z=1+1\Rightarrow1+x=\left(1-y\right)+\left(1-z\right)\ge2\sqrt{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}\)
Tương tự ta cũng có: \(1+y\ge2\sqrt{\left(1-z\right)\left(1-x\right)}\)
\(1+z\ge2\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\)
Vậy \(S\le\frac{\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}{8\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\frac{1}{8}\)
1. Cho x,y,z là ba số dương thay đổi và thỏa mãn \(^{x^2+y^2+z^2\le xyz}\)
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+zx}+\frac{z}{z^2+xy}\)
2. Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(B=xy+yz+zx+\frac{5}{x+y+z}\)
Cho x,y,z là các số thực dương. Tìm Max
Q=\(\frac{xy}{x^2+xy+yz}+\frac{yz}{y^2+yz+xz}+\frac{zx}{z^2+zx+xy}\)
Bạn tham khảo:
cho 3 số thực dương x;y;z thỏa mãn x+y+z<=3/2. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\)
Cho x,y, z là số dương, xy +yz+zx=3xyz
Tìm giá trị lớn nhất
P=\(\frac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}+\frac{11y+4z}{4y^2-yz+2z^2}+\frac{11z+4x}{4z^2-zx+2x^2}\)
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) ta tìm được \(P=9\)
Ta sẽ chứng minh nó là \(GTLN\) của \(P\)
Thật vậy, ta cần chứng minh
\(Σ\frac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}\le\frac{3\left(xy+yz+xz\right)}{xyz}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{3}{x}-\frac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\frac{\left(x-y\right)\left(x-6y\right)}{x\left(4x^2-xy+2y^2\right)}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(\frac{\left(x-y\right)\left(x-6y\right)}{x\left(4x^2-xy+2y^2\right)}+\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\frac{\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)}{xy\left(4x^2-xy+2y^2\right)}\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(P_{Max}=9\) khi \(x=y=z=1\)
Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn xy+yz+zx=xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(H=\frac{x^2}{9z+zx^2}+\frac{y^2}{9x+xy^2}+\frac{z^2}{9y+yz^2}.\)
Pls giúp mk vs.Mình sẽ đánh giá tốt.
Đây là câu bđt của chuyên Quảng Nam vừa thi mà:vvv
Ta có: \(xy+yz+zx=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\left(a,b,c>0\right)\)
Khi đó: \(H=\frac{a}{9b^2+1}+\frac{b}{9c^2+1}+\frac{c}{9a^2+1}\)
\(=\left(a+b+c\right)-\left(\frac{9ab^2}{9b^2+1}+\frac{9bc^2}{9c^2+1}+\frac{9ca^2}{9a^2+1}\right)\)
\(\ge1-\left(\frac{9ab^2}{6b}+\frac{9bc^2}{6c}+\frac{9ca^2}{6a}\right)\)
\(=1-\frac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge1-\frac{3}{2}\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=1-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=3\)
Vậy Min(H) = 1/2 khi x = y = z = 3
b1: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\).CMR \(\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\ge a+b+c\)
b2:Cho x,y,z duong.CMR \(\frac{xy}{x^2+yz+zx}+\frac{yz}{y^2+zx+xy}+\frac{zx}{z^2+xy+yz}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)
vì có 1 chút nhầm lẫn nên giờ mk mới ra mong bạn thứ lỗi
bài 1
\(\Leftrightarrow\frac{4a^4}{2a^3+2a^2b^2}+\frac{4b^4}{2b^3+2c^2b^2}+\frac{4c^4}{2c^3+2a^2c^2}\)
\(\ge\frac{\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)^2}{2a^3+2b^3+2c^3+2a^2b^2+2c^2b^2+2a^2c^2}\)
\(\ge\frac{36}{a^4+a^2+b^4+b^2+c^4+c^2+2a^2b^2+2c^2b^2+2a^2c^2}\)
\(=\frac{36}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+a^2+b^2+c^2}=3\ge a+b+c\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Bài 2 là chuyên Bình Thuận, 2016-2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có:
\(\frac{xy}{x^2+yz+zx}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(x^2+yz+zx\right)\left(y^2+yz+zx\right)}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Tương tự: \(\frac{yz}{y^2+zx+xy}\le\frac{xy\left(z^2+zx+xy\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\);\(\frac{zx}{z^2+xy+yz}\le\frac{zx\left(x^2+xy+yz\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Cộng từng vế của 3 BĐT trên. ta được:
\(VT\le\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z
a) Chứng minh rằng \(x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq xy + yz +zx\) với mọi x, y, z
b) Cho x, y, z là ba số thực dương và thoả mãn: \(x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq xyz\). Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{x}{x^{2} + yz} + \frac{y}{y^{2}+ zx} + \frac{z}{z^{2} + xy}\)