Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Nguyễn Long Vượng
Xem chi tiết
Đặng Ngọc Quỳnh
8 tháng 6 2021 lúc 14:09

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a^2+2ab+b^2\ge4ab\\2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a^2+2ab+b^2\ge4ab\\2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(a+b\right)^2\ge4ab\left(1\right)\\\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\left(2\right)\end{cases}}\)

Theo đề bài:

\(a+b+3ab=1\)

\(\Leftrightarrow4\left(a+b\right)+12ab=4\)

\(\Leftrightarrow4\left(a+b\right)+3\left(a+b\right)^2\ge4\left(theo\left(1\right)\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a+b\right)^2+4\left(a+b\right)-4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+2\right)\left[3\left(a+b\right)-2\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow3\left(a+b\right)-2\ge0\left(a,b>0\Rightarrow a+b+2>0\right)\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge\frac{2}{3}\)

`\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\ge\frac{4}{9}\left(theo\left(2\right)\right)\)

Áp dụng các kết quả trên, ta có:

\(\left(\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\right)^2\le2\left(1-a^2+1-b^2\right)\)\(=4-2\left(a^2+b^2\right)\le4-\frac{4}{9}=\frac{32}{9}\)

\(\Rightarrow\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\le\frac{4\sqrt{2}}{3}\)

Ta có: \(\frac{3ab}{a+b}=\frac{1-\left(a+b\right)}{a+b}=\frac{1}{a+b}-1\le\frac{1}{\frac{2}{3}}-1=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow A\le\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{2}\)

Dấu '=' xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a=b\\a+b+3ab=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\3a^2+2a-1=0\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=\frac{1}{3}\left(a,b>0\right)}\)

Vậy max A là \(\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{3}\)

Khách vãng lai đã xóa
Kiệt Nguyễn
Xem chi tiết
Phùng Minh Quân
2 tháng 8 2020 lúc 22:16

đổi ẩn 

\(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};z\right)\)\(\Rightarrow\)\(x+y+z=3\)

\(P=\Sigma\frac{1}{\sqrt{xy+x+y}}\ge\Sigma\frac{2\sqrt{3}}{xy+x+y+3}\ge\frac{18\sqrt{3}}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+2\left(x+y+z\right)+9}=\sqrt{3}\)

dấuu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Khách vãng lai đã xóa
Trần Điền
Xem chi tiết
Trương Cao Phong
Xem chi tiết
Trần Điền
Xem chi tiết
Nalumi Lilika
Xem chi tiết
library
Xem chi tiết
HUY hoàng nguyễn
Xem chi tiết
HUY hoàng nguyễn
23 tháng 12 2017 lúc 21:00

cảm ơn

Đinh Đức Hùng
23 tháng 12 2017 lúc 21:09

Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có :

\(A=\frac{1}{1+3ab+a^2}+\frac{1}{1+3ab+b^2}\ge\frac{4}{a^2+b^2+6ab+2}\)

Ta có : \(a^2+b^2+6ab+2=\left(a^2+2ab+b^2\right)+4ab+2=\left(a+b\right)^2+4ab+2=4ab+3\)

Áp dụng bđt \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\) ta có : \(4ab+3\le4.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}+3=\left(a+b\right)^2+3=1+3=4\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{4}{a^2+b^2+6ab+2}\ge\frac{4}{4}=1\) có GTNN là 1

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Xem chi tiết
★Čүċℓøρş★
13 tháng 3 2020 lúc 15:29

Ta có :  \(a+b=2\)

\(\Rightarrow\)\(a = 2 -b\)

\(A = 2a^2 +3b^2 +3ab\)

\(A = 2a^2 + 3b. (a+b)\)

\(A = 2. (2-b)^2+3b. (2-b+b)\)

\(A = 2. ( b^2 -4b+4)+6b\)

\(A = 2b^2 -8b+8+6b\)

\(A = 2b^2 -2b+8\)

\(A = 2. ( b ^2 -b+4)\)

\(A=2. (b^2 -2.b.{1\over2}+({1\over2})^2-({1\over2})^2+4)\)

\(A = 2. [ (b -{1\over2})^2-{15\over4}]\)

\(A =2. (b-{1\over2})^2 + {15\over2}\)\(\ge\)\({15\over2}\)

\(Min A ={15\over2}\)\(\Leftrightarrow\)\(a = {3\over2};b={1\over2}\)

Khách vãng lai đã xóa

Ta có : a+b=2→b=2−a

→P=2a2+3b2+3ab=2a2+3b(a+b)=2a2+3b.2=2a2+6b=2a2+6(2−a)=2a2−6a+12

→P=2(a2−3a)+12

→P=2(a2−2a.32+94)+152

→P=2(a−32)2+152≥152

→GTNNP=152

Dấu  = xảy ra khi a−32=0

Khách vãng lai đã xóa
tth_new
24 tháng 3 2020 lúc 14:23

Thăm nhà mình nha:tthnew's blog. Thanks mn!

Cách 2:

Gọi biểu thức trên là A. Dự đoán \(Min=\frac{15}{2}\).

Xét hiệu \(A-\frac{15}{2}=\frac{\left(a-3b\right)^2}{8}\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=\frac{3}{2};b=\frac{1}{2}\)

Khách vãng lai đã xóa