Ta có

\(\frac{\sqrt{1+a^3+b^3}}{ab}\ge\frac{\sqrt{3ab}}{ab}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{ab}}\)

Tương tự

\(\frac{\sqrt{1+b^3+c^3}}{bc}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{bc}}\)

\(\frac{\sqrt{1+a^3+c^3}}{ac}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{ac}}\)

Từ đó

\(P\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\right)\ge\sqrt{3}\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=3\sqrt{3}\)

Đạt được khi a = b = 1

mk bây h mới học lớp 7

Áp dụng BĐT AM-GM (Cô si): \(A\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)

\(=3\sqrt[3]{\frac{1}{a\left(b+c\right).b\left(c+a\right).c\left(a+b\right)}}=\frac{3}{\sqrt[3]{\left(ab+ca\right)\left(bc+ab\right)\left(ca+bc\right)}}\)

\(\ge\frac{9}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

P/s: Check giúp em xem có ngược dấu không:v

Cach khac 

Dat \(\left(ab;bc;ca\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x^2+y^2+z^2\ge3\\xyz\le1\end{cases}}\)

Ta co:

\(A=\frac{1}{ab+b^2}+\frac{1}{bc+c^2}+\frac{1}{ca+a^2}\)

\(=\frac{1}{x+\frac{xy}{z}}+\frac{1}{y+\frac{yz}{x}}+\frac{1}{z+\frac{zx}{y}}\ge\frac{9}{3+xyz\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=1\)

Vay \(A_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(a=b=c=1\)

MaiLink bạn hãy chứng minh: \(xyz\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\le3\) xem thế nào? Nếu như ko c/m được thì bài này ngược dấu.

Ta có:

\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) ( luôn đúng )

Áp dụng:

\(G=\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\)

\(\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{2ab}+\frac{bc\left(b+c\right)}{2bc}+\frac{ca\left(c+a\right)}{2ca}\)

\(=\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\)

\(=a+b+c=2019\)

Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=673

Giá trị tuyệt đối A= | x - 2 | + | x - 5|

Ủa sao câu 1 bậc của vế trái lại khác bậc vế phải?

ko khó nhưng mà bn đăng từng câu 1 hộ mk mk giải giúp cho

gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)

=> Thay vào thì     \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)

\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)

Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào

=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)

=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\) 

Đặt: \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\)

=>     \(P=\frac{xy}{z^2+3xy}+\frac{yz}{x^2+3yz}+\frac{zx}{y^2+3zx}\)

=>     \(3P=\frac{3xy}{z^2+3xy}+\frac{3yz}{x^2+3yz}+\frac{3zx}{y^2+3zx}=1-\frac{z^2}{z^2+3xy}+1-\frac{x^2}{x^2+3yz}+1-\frac{y^2}{y^2+3zx}\)

Ta sẽ CM: \(3P\le\frac{9}{4}\)<=> Cần CM: \(\frac{x^2}{x^2+3yz}+\frac{y^2}{y^2+3zx}+\frac{z^2}{z^2+3xy}\ge\frac{3}{4}\)

Có:    \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)

Ta sẽ CM: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{4}\)

<=> \(4\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)

<=> \(4\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)

<=> \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

Mà đây lại là 1 BĐT luôn đúng => \(3P\le\frac{9}{4}\)=> \(P\le\frac{3}{4}\)

Vậy P max \(=\frac{3}{4}\)<=> \(a=b=c\)