ta có:

\(S=\frac{a}{a^2+1}+\frac{5\left(a^2+1\right)}{2a}=\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}+\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\)

áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a}{a^2+1}.\frac{a^2+1}{4a}}=2.\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

\(\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\ge\frac{9.2a}{4a}=\frac{9}{2}\)

\(\Rightarrow S\ge\frac{9}{2}+1=\frac{11}{2}\)

Vậy \(Min_S=\frac{11}{2}\)khi a=1

bạn ơi tại sao lại là \(\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}=\frac{9.2a}{4a}\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\frac{1}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1$

$a^2+1\geq 2a\Rightarrow \frac{9(a^2+1)}{4a}\geq \frac{9.2a}{4a}=\frac{9}{2}$

Cộng theo vế 2 BĐT trên ta có:

$\frac{1}{a^2+1}+\frac{5(a^2+1)}{2a}\geq \frac{11}{2}$

$\Leftrightarrow S\geq \frac{11}{2}$

Vậy $S_{\min}=\frac{11}{2}$ khi $a=1$

a/ Ta có 

\(K^4+\frac{1}{4}=K^4+K^2+\frac{1}{4}-K^2=\left(K^2+\frac{1}{2}\right)^2-K^2=\left(K^2+K+\frac{1}{2}\right)\left(K^2-K+\frac{1}{2}\right)\)

Ta lại có 

\(K^2+K+\frac{1}{2}=\left(K+1\right)^2-\left(K+1\right)+\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow K^4+\frac{1}{4}=\left(K^2-K+\frac{1}{2}\right)\left(\left(K+1\right)^2-\left(K+1\right)+\frac{1}{2}\right)\)

Áp dụng vào bài toán ta được

\(=\frac{101^2-101+0,5}{1^2-1+0,5}=20201\)\(1S=\frac{\left(2^2-2+0,5\right)\left(3^2-3+0,5\right)\left(4^2-4+0,5\right)\left(5^2-5+0,5\right)...\left(100^2-100+0,5\right)\left(101^2-101+0,5\right)}{\left(1^2-1+0,5\right)\left(2^2-2+0,5\right)\left(3^2-3+0,5\right)\left(4^2-4+0,5\right)...\left(99^2-99+0,5\right)\left(100^2-100+0,5\right)}\)

b/

\(\frac{3\left(x+y\right)}{3\sqrt{x\left(4x+5y\right)}+3\sqrt{y\left(4y+5x\right)}}\)

\(\ge\frac{3\left(x+y\right)}{\frac{9x+4x+5y}{2}+\frac{9y+4y+5x}{2}}\)

\(=\frac{1}{3}\)

Dấu = xảy ra khi x = y

Bấm sao mà nói đẩy đáp số lên trên mất rồi

\(\Rightarrow1S=\frac{101^2-101+0,5}{1^2-1+0,5}=20201\)

thỏa cái j sửa đi

1/\(=4a^2+4b^2+c^2+8ab-4bc-4ca+4b^2+4c^2+a^2+8bc-4ca-4ab+4a^2+4c^2+b^2+8ca-4bc-4ab=\)

\(=9a^2+9b^2+9c^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

2/

Ta có

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge-2\left(ab+bc+ca\right)=2\)

\(\Rightarrow P=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge18\)

\(\Rightarrow P_{min}=18\)

a) \(ĐK:a\ne1;a\ne0\)

\(A=\left[\frac{\left(a-1\right)^2}{3a+\left(a-1\right)^2}-\frac{1-2a^2+4a}{a^3-1}+\frac{1}{a-1}\right]:\frac{a^3+4a}{4a^2}=\left[\frac{a^2-2a+1}{a^2+a+1}-\frac{1-2a^2+4a}{a^3-1}+\frac{a^2+a+1}{a^3-1}\right].\frac{4a^2}{a^3+4a}\)\(=\left[\frac{a^3-3a^2+3a-1}{a^3-1}-\frac{1-2a^2+4a}{a^3-1}+\frac{a^2+a+1}{a^3-1}\right].\frac{4a^2}{a^3+4a}=\frac{a^3-1}{a^3-1}.\frac{4a}{a^2+4}=\frac{4a}{a^2+4}\)

b) Ta có: \(a^2+4\ge4a\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2\ge0\)

Khi đó \(\frac{4a}{a^2+4}\le1\)

Vậy Max_A = 1 khi x = 2

•๖ۣۜIηεqυαℓĭтĭεʂ•ッᶦᵈᵒᶫ★T&T★ Idol cho em hỏi là, cái chỗ \(\left(a-2\right)^2\ge0\) thì tại sao Khi đó: \(\frac{4a}{a^2+4}\le1\)

Mong Idol pro giải thích hộ em chỗ này :((

À dạ thôi oke, em hiểu rồi((: