1, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=|x| - |x-2|
2, Cho 3 số x, y, z thỏa mãn |x-y| = 2.|y-z| = 3.|z-x|
CMR x = y = z
cho x,y,z là số dương thỏa mãn x+y+z ≤3 tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P=\(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
Ta có:
\(1.\sqrt{1+x^2}+1.\sqrt{2x}\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(1+x^2+2x\right)}=\sqrt{2}\left(x+1\right)\)
Tương tự:
\(\sqrt{1+y^2}+\sqrt{2y}\le\sqrt{2}\left(y+1\right)\) ; \(\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(z+1\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\sqrt{2}\left(x+y+z+3\right)+\left(2-\sqrt{2}\right)\left(x+y+z\right)\le\sqrt{2}\left(3+3\right)+\left(2-\sqrt{2}\right).3=6+3\sqrt{2}\)
\(P_{max}=6+3\sqrt{2}\) khi \(x=y=z=1\)
1. Cho x,y,z là ba số dương thay đổi và thỏa mãn \(^{x^2+y^2+z^2\le xyz}\)
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+zx}+\frac{z}{z^2+xy}\)
2. Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(B=xy+yz+zx+\frac{5}{x+y+z}\)
cho x,y,z là những số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z =3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A= x/ (1+y2) +y/ (1+z2) + z/( 1+x2)
Cho x , y ,z là các số thực thỏa mãn điều kiện : \(\frac{3}{2}x^2+y^2+z^2+yz=1\) 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x + y + z là :
cho các số thực x,y,,z≥0 thỏa mãn x+y+z=3.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất cảu biểu thức \(P=\sqrt{x^2-6x+25}+\sqrt{y^2-6y+25}+\sqrt{z^2-6z+25}\)
\(P=\sqrt{\left(x-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(y-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(z-3\right)^2+4^2}\)
\(P\ge\sqrt{\left(x-3+y-3+z-3\right)^2+\left(4+4+4\right)^2}=6\sqrt{5}\)
\(P_{min}=6\sqrt{5}\) khi \(x=y=z=1\)
Mặt khác với mọi \(x\in\left[0;3\right]\) ta có:
\(\sqrt{x^2-6x+25}\le\dfrac{15-x}{3}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(9\left(x^2-6x+25\right)\le\left(15-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow8x\left(3-x\right)\ge0\) luôn đúng
Tương tự: ...
\(\Rightarrow P\le\dfrac{45-\left(x+y+z\right)}{3}=14\)
\(P_{max}=14\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị
\(\text{Các số thực không âm x,y,z thay đổi thỏa mãn điều kiện: x^2+ y^2+x^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=6. \text{Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Q=x+y+z}}\)\(\text{Các số thực không âm x,y,z thay đổi thỏa mãn điều kiện x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=6. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Q=x+y+z}\)
https://diendantoanhoc.net/topic/182493-%C4%91%E1%BB%81-thi-tuy%E1%BB%83n-sinh-v%C3%A0o-l%E1%BB%9Bp-10-%C4%91hsp-h%C3%A0-n%E1%BB%99i-n%C4%83m-2018-v%C3%B2ng-2/
bài này năm trrong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ĐHSP Hà Nội Năm 2018 (vòng 2) bn có thể tìm đáp án trên mạng để tham khảo
Sử dụng bất đẳng thức AM-GN, ta có:
\(x^2y^2+1\ge2xy,\) \(y^2z^2+1\ge2yz,\) \(z^2x^2+1\ge2zx\)
Cộng các bất đẳng thức trên lại theo vế, sau đó cộng hai vế của bất đẳng thức thu được với \(x^2+y^2+z^2\), ta được:
\(\left(x+y+z\right)^2\le x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+3=9\)
Từ đó suy ra: \(Q\le3\)
Mặt khác, dễ thấy dấu bất đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\) nên ta có kết luận \(Max_Q=3\)
Ta sẽ chứng minh \(Q\ge\sqrt{6}\) với dấu đẳng thức xảy ra, chẳng hạn \(x=\sqrt{6},\) \(y=z=0.\) Sử dụng bất đẳng thức AM-GN, ta có:
\(2xy+x^2y^2\le x^2+y^2+x^2y^2\le x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=6\)
Từ đó suy ra: \(xy\le\sqrt{7}-1< 2\)
Chứng minh tương tự, ta cũng có:
\(yz< 2,\) \(zx< 2.\)
Do đó, ta có:
\(Q^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\ge x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=6\)
Hay: \(Q\ge\sqrt{6}\)
\(\Rightarrow Min_Q=\sqrt{6}\)
cho 3 số x,y,z thỏa mãn x+y+z=2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x2+y2+z2
Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
\(\left(b-c\right)^2\ge0\forall b,c\)
\(\left(c-a\right)^2\ge0\forall c,a\)
Nên : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
<=> \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Thay số ta có : \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{2^2}{3}=\frac{4}{3}\)
Vậy GTNN của bt là \(\frac{4}{3}\)
cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn x+y+z=2
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta được:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x\)
\(\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge2\sqrt{\frac{y^2}{z+x}.\frac{z+x}{4}}=y\)
\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{z^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=z\)
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được
\(A+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
Cách 2:Dù dài hơn Lê Tài Bảo Châu
\(\frac{x^2}{y+z}+x=\frac{x^2+x\left(y+z\right)}{y+z}=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{x}{y+z}\)
\(\frac{y^2}{z+x}+y=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{y}{z+x};\frac{z^2}{x+y}+z=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{z}{x+y}\)
Suy ra \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}+\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\)
Đến đây thay x+y+z=2 và BĐT netbitt là ra ( chứng minh netbitt nha )
Cách 3:
\(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Áp dụng Cauchy Schwarz
\(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=1\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=2/3
1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A= 2021 - (x2 + 2)2 - 3.|x - y + 1|
2) Cho x,y,z là 3 số khác 0 thỏa mãn:
y + z - x = z + x - y = x + y - z
x. y. z
Hãy tính giá trị của biểu thức
A = (1+ x/y).(1+ y/z).(1+ z/x)
1. Ta có: x2 \(\ge\)0 => x2 + 2 \(\ge\)2 \(\forall\)x => (x2 + 2)2 \(\ge\)4 \(\forall\)x
3|x - y + 1| \(\ge\)0 \(\forall\)x;y
=> 2021 - (x2 + 2)2 - 3|x - y + 1| \(\le\)2021 - 4 = 2017
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\left(x^2+2\right)^2=4\\x-y+1=0\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}\left(x^2+2-2\right)\left(x^2+2+2\right)=0\\y=x+1\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\)
Vậy Max A = 2017 <=> x = 0 và y = 1
2. Ta có: \(\frac{y+z-x}{x}=\frac{z+x-y}{y}=\frac{x+y-z}{z}\)
=> \(\frac{y+z-x}{x}+2=\frac{z+x-y}{y}+2=\frac{x+y-z}{z}+2\)
=> \(\frac{y+z-x+2x}{x}=\frac{z+x-y+2y}{y}=\frac{z+y-z+2z}{z}\)
=> \(\frac{x+y+z}{x}=\frac{x+y+z}{y}=\frac{x+y+z}{z}\)
=> \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\) => x = y = z
Khi đó, ta được : A = \(\left(1+\frac{x}{x}\right)\left(1+\frac{y}{y}\right)\left(1+\frac{z}{z}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=2.2.2=8\)