Để A thuộc Z

=> A^2 thuộc Z

=> x-3+4/x-3 = 1+4/x-3 thuộc z

=> x-3 thuộc ước của 4 Giải ra

\(A=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-3}}\Leftrightarrow A^2=\frac{x+1}{x-3}.\)

                               \(\Leftrightarrow A^2=\frac{x-3+4}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}+\frac{4}{x-3}=1+\frac{4}{x-3}\)

Để \(A\in Z\Leftrightarrow1+\frac{4}{x-3}\in Z\).

Mà \(1\in Z\)

\(\Leftrightarrow\frac{4}{x-3}\in Z\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\inƯ_4=\left\{\pm2;\pm4;\pm1\right\}\)

Ta có bảng sau :

Để A có giá trị là một số nguyên thì:

\(\left(\sqrt{x}+1\right)⋮\left(\sqrt{x}-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-3\right)+4⋮\left(\sqrt{x}-3\right)\)

\(\Leftrightarrow4⋮\left(\sqrt{x}-3\right)\)

Vì \(x\in Z\) nên \(\left(\sqrt{x}-3\right)\inƯ\left(4\right)=\left\{\pm1,\pm2,\pm4\right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy ....

Ta có: \(A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)+4}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}=1+\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\)

Để A có giá trị là một số nguyên khi:

\(4⋮\sqrt{x}-3\) hay \(\sqrt{x}-3\inƯ\left(4\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

Do đó:

\(\sqrt{x}-3=-1\Rightarrow\sqrt{x}=-1+3=2\Rightarrow x=4\)

\(\sqrt{x}-3=1\Rightarrow\sqrt{x}=1+3=4\Rightarrow x=16\)

\(\sqrt{x}-3=-2\Rightarrow\sqrt{x}=-2+3=1\Rightarrow x=1\)

\(\sqrt{x}-3=2\Rightarrow\sqrt{x}=2+3=5\Rightarrow x=25\)

\(\sqrt{x}-3=-4\Rightarrow\sqrt{x}=-4+3=-1\)  ( loại )

\(\sqrt{x}-3=4\Rightarrow\sqrt{x}=4+3=7\Rightarrow x=49\)

Vậy để A là một số nguyên khi \(x\in\left\{4;16;1;25;49\right\}\)

B=\(\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}\)

B = \(1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\)

để B có giá trị dương thì 4\(⋮\)\(\sqrt{x}-3\) và \(\sqrt{x}-3\ge0\)

=> \(\sqrt{x}-3\)\(\in\)Ư(4)=(1;-1;4;-4) mà \(\sqrt{x}-3\ge0\)nên  \(\sqrt{x}-3\in\left(1;4\right)\)

\(\sqrt{x}\)\(\in\)(4;7)

x \(\in\)(16;49)

Để câu trả lời của bạn nhanh chóng được duyệt và hiển thị, hãy gửi câu trả lời đầy đủ và không nên:

\(A=\frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1-7}{\sqrt{x}+1}=1-\frac{7}{\sqrt{x}+1}\)

Để A nguyên thì \(\frac{7}{\sqrt{x}+1}\) nguyên hay \(\sqrt{x}+1\inƯ\left(7\right)=\left\{\pm1;\pm7\right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy ....