Bạn tự vẽ hình nha .

Ta có : MP // DC

=> \(\frac{AM}{MD}=\frac{AP}{PC}\)( Định lý Ta - lét )hay \(\frac{10}{20}=\frac{AP}{35}\)

=> 350 = 20.AP => AP = 17,5 ( cm )

Ta có : PN // AB

=> \(\frac{CN}{BN}=\frac{PC}{AP}\)( Định lý Ta - lét )hay \(\frac{CN}{11}=\frac{35}{17,5}\)

=> 17,5.CN = 385 => CN = 22 ( cm )

Xét tg DAC có: AE=ED (gt)

                        EI//DC( gt)

=> I td AC 

Xét hình thang ABCD có EA=ED(gt)

                                        EF//BC(EI//AB//DC)

=> F td BC

Xét ΔABC cân tại A có: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (tính chất)

\(\Rightarrow\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\) (do M ∈ AB; N ∈ AC)

Xét tứ giác BCNM có: \(MN//BC\)  và \(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\)

\(\Rightarrow\)BCNM là hình thang cân.

Xét ΔADC có MI//DC

nên \(\dfrac{MI}{DC}=\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(\dfrac{MI}{12}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(MI=6\left(cm\right)\)

Xét hình thang ABCD có

M là trung điểm của AD

MN//AB//CD

Do đó: N là trung điểm của BC

Xét hình thang ABCD có

M,N lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>MN là đường trung bình của hình thang ABCD

=>\(MN=\dfrac{AB+CD}{2}=\dfrac{6+12}{2}=\dfrac{18}{2}=9\left(cm\right)\)

a) Xét tam giác ADC có \(OM//DC\)(gt)

\(\Rightarrow\frac{OM}{DC}=\frac{AO}{AC}\left(1\right)\)( hệ quả của định lý Ta-let)

Xét tam giác BDC có \(ON//DC\)(gt)

\(\Rightarrow\frac{ON}{DC}=\frac{OB}{BD}\left(2\right)\)( hệ quả của định lý Ta-let)

Xét tam giác ODC có: \(AB//DC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{OB}{OD}=\frac{OA}{OC}\)( định lý Ta-let)

\(\Rightarrow\frac{OB}{OD+OB}=\frac{OA}{OA+OC}\)( tính chất của dãy tỉ số bằng nhau )

\(\Rightarrow\frac{OB}{BD}=\frac{OA}{AC}\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\)và \(\left(3\right)\Rightarrow OM=ON\left(đpcm\right)\)

b) Xét tam giác ADC có \(OM//DC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{AD}=\frac{AO}{AC}\)( định lý Ta-let)

Xét tam giác ABC có \(ON//AB\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{CN}{CB}=\frac{OC}{AC}\)( định lý Ta-let)

\(\Rightarrow\frac{AM}{AD}+\frac{CN}{CB}=\frac{AO}{AC}+\frac{OC}{AC}=\frac{AC}{AC}=1\)