Học sinh tự thực hiện

Theo tính chất đường phân giác, tam giác ABC có:

\(\frac{AF}{BF}=\frac{AC}{BC}=\frac{30}{36}=\frac{5}{6}\Rightarrow6AF-5BF=0\)

Mặt khác \(AF+BF=AB=18\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}FA=\frac{90}{11}\\FB=\frac{108}{11}\end{matrix}\right.\)

Tương tự ta cũng có: \(\left\{{}\begin{matrix}EA=20\\EC=10\end{matrix}\right.\); \(\left\{{}\begin{matrix}DB=\frac{45}{4}\\DC=\frac{75}{4}\end{matrix}\right.\)

KL: Vậy ..................

Xét tam giác ABC có: AD là phân giác (gt).

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\) (Tính chất đường phân giác).

\(\Rightarrow\dfrac{DB}{DC+DB}=\dfrac{AB}{AC+AB}.\)

\(\Rightarrow\dfrac{DB}{BC}=\dfrac{AB}{AC+AB}.\)

\(Thay:\) \(\dfrac{DB}{36}=\dfrac{18}{30+18}.\Leftrightarrow DB=13,5.\)

\(DC=BC-DB=36-13,5=22,5.\)

Xét tam giác ABC có: BE là phân giác (gt).

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{AB}{BC}\) (Tính chất đường phân giác).

​\(\Rightarrow\) ​​\(\dfrac{EA}{EC+EA}=\dfrac{AB}{BC+AB}.\)

\(\Rightarrow\dfrac{EA}{AC}=\dfrac{AB}{BC+AB}.\)

\(Thay:\) \(\dfrac{EA}{30}=\dfrac{18}{36+18}\Leftrightarrow EA=10.\)

\(\Rightarrow EC=AC-EA=30-10=20.\)

Xét tam giác ABC có: CF là phân giác (gt).

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{AB}{BC}\) (Tính chất đường phân giác).

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{FA}{FB+FA}=\dfrac{AB}{BC+AB}.\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{FA}{AB}=\dfrac{AB}{BC+AB}.\)

\(Thay:\) \(\dfrac{FA}{18}=\dfrac{18}{36+18}\Leftrightarrow FA=6.\)

\(\Rightarrow\) \(FB=AB-FA=18-6=12.\)

áp dụng định lý phân giác ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\\\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{BC}{AB}\\\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{AC}{BC}\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{AB}{AC}.\dfrac{BC}{AB}.\dfrac{AC}{BC}=1\)

DB/DC*EC/EA*FA/FB

\(=\dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{BC}{BA}\cdot\dfrac{CA}{CB}=1\)

DB/DC=AB/AC

EC/EA=BC/BA

FA/FB=CA/CB

=>DB/DC*EC/EA*FA/FB=(AB*BC*AC)/(AC*BA*CB)=1