a, Để \(\dfrac{n+1}{n-2}\) có giá trị là một số nguyên thì n + 1 ⋮ n - 2

=> (n - 2) + 3 ⋮ n - 2

 Vì (n - 2) ⋮ n - 2 nên 3 ⋮ n - 2

=> n - 2 ∈ Ư(3) ∈ {-3;-1;1;3}

 => n ∈ {-1;1;3;5}

b, Để \(\dfrac{4n+5}{2n-1}\) có giá trị là một số nguyên thì 4n + 5 ⋮ 2n - 1

=> (4n - 2) + 7 ⋮ 2n - 1

=> 2(2n - 1) + 7 ⋮ 2n - 1

 Vì 2(2n - 1) ⋮ 2n -1 nên 7 ⋮ 2n - 1

=> 2n - 1 ∈ Ư(7) ∈ {-7;-1;1;7}

=> n ∈ {-3;0;1;4}

Ta có:

\(\frac{n+5}{n}=\frac{n}{n}+\frac{5}{n}=1+\frac{5}{n}\)

Để \(\frac{n+5}{n}\) có GTN thì \(1+\frac{5}{n}\) phải có GTN

\(\Rightarrow\frac{5}{n}\) phải có GTN

\(\Rightarrow5\) phải chia hết cho n

\(\Rightarrow n\inƯ\left(5\right)\)

\(\Rightarrow n\in\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

Mà n là STN nên \(n\in\left\{1;5\right\}\)

Vậy có tất cả 2 STN n để \(\frac{n+5}{n}\) có GTN

Ta có : \(\frac{n+5}{n}=\frac{n}{n}+\frac{5}{n}=1+\frac{5}{n}\)

Để \(1+\frac{5}{n}\in N\Leftrightarrow\frac{5}{n}N\in\)N

=> n thuộc ước của 5 là 1 ; 5

Vậy n = 1 ; 5

Dễ quá

\(A=2n:\frac{3n+1}{3}=2n.\frac{3}{3n+1}=\frac{6n}{3n+1}=\frac{6n+2-2}{3n+1}=\frac{2\left(3n+1\right)-2}{3n+1}\)

\(=\frac{2\left(3n+1\right)}{3n+1}-\frac{2}{3n+1}=2-\frac{2}{3n+1}\)

A nguyên <=> \(\frac{2}{3n+1}\) nguyên <=> 2 chia hết cho 3n+1

<=>\(3n+1\inƯ\left(2\right)=\left\{-2;-1;1;2\right\}\)

<=>\(3n\in\left\{-3;-2;0;1\right\}\)

<=>\(n\in\left\{-1;\frac{-2}{3};0;\frac{1}{3}\right\}\)

Vì n nguyên nên  \(n\in\left\{-1;0\right\}\)

A=\(=\frac{2n.3}{3n+1}=\frac{2.3n+2-2}{3n+1}=2-\frac{2}{3n+1}.\) 

3n+1=+-1,+-2

n=0

Để n nguyên thì 5 chia hết n 

=> n = {-1;1;-5;5}

\(\frac{n+1}{2n-1}\inℤ\Rightarrow\frac{2\left(n+1\right)}{2n-1}=\frac{2n-1+3}{2n-1}=1+\frac{3}{2n-1}\inℤ\Leftrightarrow\frac{3}{2n-1}\inℤ\)

\(\Leftrightarrow2n-1\inƯ\left(3\right)=\left\{-3,-1,1,3\right\}\Leftrightarrow n\in\left\{-1,0,1,2\right\}\). 

Thử lại ta được \(n\in\left\{-1,0,1,2\right\}\)thỏa mãn.