Cho hai đường tròn (O;R) và (O';R') cắt nhau tại A, B (O và O' thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB). Các đường thẳng AO và AO' cắt
(O) tại hai điểm C,D và cắt đường tròn (O') tại E, F. Chứng minh:
a) Ba điểm C,B,F thẳng hàng
b) Tứ giác CDEF nội tiếp.
cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. H là giao điểm của AO
Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $OA$. Điểm $C$ thuộc đoạn thẳng $AO$ ($C$ khác $A$ và $O$). Đường thẳng vuông góc với $AO$ tại $C$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $D$ và $K$. Tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $AO$ tại $E$. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $DE$ tại $F$. Gọi $H$ là giao điểm của hai đường thẳng $FO$ và $DK$.
Chứng minh các tứ giác $AFDO$ và $AHOK$ là tứ giác nội tiếp.
Cho đường tròn tâm bán kính . Điểm thuộc đoạn thẳng ( khác và ). Đường thẳng vuông góc với tại cắt đường tròn tại hai điểm và . Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt đường thẳng tại . Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt đường thẳng tại . Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và .
Chứng minh các tứ giác và là tứ giác nội tiếp.
xet tu giac AFDO co: goc FAO=FDO=90(gt)
=> tu giac AFDO noi tiep ( tong 2 goc doi dien bang 180)
vi OA vuong goc voi DK tai C (gt) va D,K thuoc (O)
=> OC la duong trung truc cua DK
=> tam giac ODK can tai O
=> goc ODK = OKD (1)
Mat khac,
va ta thay DC vuong goc voi OA
nen H la truc tam cua tam giac OAD
=>AH vuong goc voi OD=> AH song song voi ED
=> goc HAO=DEO (dong vi) (2)
Ta thay goc DEO= 90- goc DOE (tong 3 goc trong tam giac DOE)
va goc ODK=90- goc DOE (tong 3 goc trong tam giac DOK)
=>goc ODK=DEO (3)
Tu (1);(2);(3)=> goc OAH=OKH
=>tu giac AHOK noi tiep
Cho đường trong tâm (O) . Trên đường tròn lấy B và C sao cho B;O;C không thẳng hàng. Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại A . Đường thẳng AO cắt BC tại H. AO cắt đường tròn tâm (O) tại E và F ( E nằm giữa A và O ) . Chứng minh rằng : \(\dfrac{FA}{FH}=\dfrac{OA}{OE}\)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, trong đó O’ nằm trên đường tròn (O). Kẻ đường kính O’OC của đường tròn (O). Đường vuông góc với AO’ tại O’ cắt CB ở I. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng O’B ở K. Chứng minh rằng ba điểm O, I, K thẳng hàng.
Trong đường tròn (O’) ta có AC và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C
Suy ra: 
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà O’I ⊥ O’A (gt)
CA ⊥ O’A (chứng minh trên)
Suy ra: O’I // CA => 
(hai góc so le trong)
Suy ra: 
Hay tam giác CIO’ cân tại I => IC = IO’
Khi đó I nằm trên đường trung trực của O’C
Lại có: 
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
KC ⊥ CA (gt)
O’A ⊥ AC (chứng minh trên)
Suy ra: KC // O’A => 
(hai góc so le trong)
Suy ra: 
Hay tam giác CKO’ cân tại K => KC = KO’
Khi đó K nằm trên đường trung trực của O’C
Mặt khác: OC = OO’ (= R)
Suy ra O, I, K nằm trên đường trung trực của O’C
Vậy O, I, K thẳng hàng.
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B, trong đó O' nằm trên đường tròn (O). Kẻ đường kính O'OC của đường tròn (O).
a, CMR: CA, CB là các tiếp tuyến của đường tròn (O')
b, Đường vuông góc với AO' tại O' cắt CB ở I. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng O'B ở K. C/minh 3 điểm O, I, K thẳng hàng.
Cho hai đường tròn (O;R) và (O';R') cắt nhau tại A,B (O và O' thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB ).Các đường thẳng AO và AO' cắt (O) tại hai điểm C,D và cắt đường tròn (O') tại E,F. Chứng minh:
a) Ba điểm C,B,F thẳng hàng
b) Tứ giác CDEF nội tiếp
c) AB,CD,EF đồng quy
d) A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE
e) MN là tiếp tuyến chung của (O) và (O'). Chứng minh AB đi qua trung điểm của MN
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B, trong đó O' nằm trên đường tròn (O). Kẻ đường kính O'OC của đường tròn (O)
a) Chứng minh rằng CA, CB là các tiếp tuyến của đường tròn (O')
b) Đường vuông góc với AO' tại O' cắt CB ở I. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng O'B ở K. Chứng minh rằng ba điểm O, I, K thẳng hàng
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến ABC với đường tròn. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau ở K. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AO, cắt AO tại H và đường tròn (O) tại E và F (E nằm giữa K và F). Gọi M là giao điểm của OK và BC.gọi D là giao điểm của BC và EF chứng minh DB.AC =DC.AB
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R từ A kẻ đường thẳng d không đi qua tâm O cắt O tại B và C ( B nằm giữa A và C ) các tiếp tuyến với đường tròn O tại B và C cắt nhau tại D từ D kẻ DH vuông góc với AO ( H nằm trên AO ) DH cắt cung nhỏ BC tại M gọi I là giao điểm của DO và BC a. Chứng minh OHDC là tứ giác nội tiếp b. Chứng minhOH×OA= OI×OD
a: Xét tứ giác OHDC có
góc OHD+góc OCD=180 độ
=>OHDC là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔOIA vuông tạiI và ΔOHD vuông tại H có
góc IOA chung
=>ΔOIA đồng dạng với ΔOHD
=>OI/OH=OA/OD
=>OI*OD=OH*OA
