c: Xét tứ giác ABMH có 

I là trung điểm của AM

I là trung điểm của BH

Do đó: ABMH là hình bình hành

Suy ra: AH//BC

Xét ΔAIB và ΔBCE có

AI=BC

BE=BA

góc IAB=góc EBC

=>ΔABI=ΔBEC

=>góc AIB=góc BCE

ΔHIB vuông tại H có góc AIB+góc IBH=90 độ

=>góc BCE+góc IBH=90 độ

=>CE vuông góc BI

Xét tứ giác ADBC có

M la trung điểm chung của AB và DC

nên ADBC là hình bình hành

=>góc ADB=góc ACB

Xét ΔABC có

MN//BC

AM/AB=1/2

=>N là trung điểm của AC

Xét ΔNBC và ΔNEA có

góc NCB=góc NAE

NC=NA

góc BNC=góc ENA

=>ΔNBC=ΔNEA

=>NB=NE

=>AECB là hình bình hành

=>CE=AB=AC=BD và góc AEC=góc ABC

=>góc AEC=góc ADB

Gọi giao của BD và CE là K

Xét ΔKDE có góc KDE=góc KED

nên ΔKDE cân tại K

=>KD=KE

=>KB=KC

=>K nằm trên trung trực của BC

mà AH là trung trực của BC

nên A,H,K thẳng hàng

a)

Xét \(\Delta ABH\)và \(\Delta ACH\)có :

\(AB=AC\left(GT\right)\) (1)

\(BH=CH\)( Vì H là trung điểm của BC ) (2)

\(AH\): Cạnh chung      (3)

Từ (1);(2) và (3)

\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta ACH\left(c.c.c\right)\)

=>  \(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)( Cặp góc tương ứng)

=> AH là đường phân giác

Vì AB = AC (GT)

=> \(\Delta BAC\)cân

Xét \(\Delta BAC\)có :

\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)

=> AH là đường cao của tam giác

( vì trong 1 tam giác cân đường phân giác ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao)

\(\Rightarrow AH\perp BC\)

Ta có : H là trung điểm của BC 

Mà BC = 8cm

=> HB=HC = 4cm

Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vuông BHA có :

\(AB^2=AH^2+BH^2\)

\(\Rightarrow5^2=AH^2+4^2\)

\(\Rightarrow25=AH^2+16\)

\(\Rightarrow AH^2=25-16\)

\(\Rightarrow AH^2=9\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{9}\)

\(\Rightarrow AH=3cm\)

Câu b chứng minh cái gì vậy bạn .

AH=3cm

góc BEC=1/2*180=90 độ

góc BDC=1/2*180=90 độ

Xét ΔABC có

BD,CE là đường cao

DB cắt CE tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc BC tại F

góc MDO=góc MDH+góc ODH

=góc MHD+góc DBC

=góc HBF+góc FHB=90 độ

=>DM là tiếp tuyến của (O)

Bài 2: 

a: Ta có: ΔAEH vuông tại E

mà EI là đường trung tuyến

nên IE=AH/2(1)

Ta có: ΔADH vuông tại D

mà DI là đường trung tuyến

nên DI=AH/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra IE=ID

b: Xét tứ giác BEDC có 

\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)

Do đó: BEDC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>ME=MD

hay M nằm trên đường trung trực của ED(1)

Ta có: IE=ID

nên I nằm trên đường trung trực của ED(2)

Từ (1) và (2) suy ra IM là đường trung trực của ED

hay D đối xứng với E qua IM