1. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện $$20abc<30(ab+bc+ca)<21abc$$ - Số học - Diễn đàn Toán học

2. [LỜI GIẢI] Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số < - Tự Học 365

Lời giải:
Đổi \((\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c})=(x,y,z)\) thì bài toán trở thành

Cho $x,y,z$ thực dương phân biệt tm: $\frac{xy+1}{x}=\frac{yz+1}{y}=\frac{xz+1}{z}$

CMR: $xyz=1$

-----------------------------

Có:

$\frac{xy+1}{x}=\frac{yz+1}{y}=\frac{xz+1}{z}$

$\Leftrightarrow y+\frac{1}{x}=z+\frac{1}{y}=x+\frac{1}{z}$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y-z=\frac{x-y}{xy}\\ z-x=\frac{y-z}{yz}\\ x-y=\frac{z-x}{xz}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (y-z)(z-x)(x-y)=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{x^2y^2z^2}\)

Mà $x,y,z$ đôi một phân biệt nên $(x-y)(y-z)(z-x)\neq 0$

$\Rightarrow 1=\frac{1}{x^2y^2z^2}$

$\Rightarrow x^2y^2z^2=1$
$\Rightarrow xyz=1$ (do $xyz>0$)

Ta có đpcm.

20abc < 30(ab + bc + ac) < 21abc <=> 2/3 < (ab + bc + ac) / abc < 7/10 
<=> 2/3 < 1/a + 1/b + 1/c < 7/10 
Gọi A là số nhỏ nhất, C là số lớn nhất trong 3 số nguyên tố a,b,c và B là số còn lại.Ta có 
2/3 < 1/A + 1/B + 1/C < 7/10.Có các TH sau : 
a) A = 2 
..+B = 3 hoặc 5.Khi đó 1/A + 1/B +1/C > 7/10 (loại) 
..+B = 7.Khi đó 1/A + 1/B = 1/2 + 1/7 = 9/14.Do đó 2/3 - 9/14 < 1/C < 7/10 - 9/14 hay 1/42 < 1/C < 2/35 => 17,5 < C < 42.Vì C là số nguyên tố nên C thuộc {19; 23; 29; 31; 37; 41} 
..+B = 11.Khi đó 1/A + 1/B = 13/22.Do đó 2/3 - 13/22 < 1/C < 7/10 - 13/22 hay 5/66 < 1/C < 6/55 => 55/6 < C < 66/5.Vì C là số nguyên tố và A,B,C phân biệt nên C = 13 
..+B >= 13.Khi đó 1/A + 1/B + 1/C <= 1/2 + 1/13 + 1/17 < 2/3 (loại) 
b) A = 3 
..+B = 5.Khi đó 1/A + 1/B = 8/15.Do đó 2/3 - 8/15 < 1/C < 7/10 - 8/15 hay 2/15 < 1/C < 1/6 => 6 < C < 15/2 => C =7 
..+B >= 7.Khi đó 1/A + 1/B + 1/C <= 1/3 + 1/7 + 1/11 < 2/3 (loại) 
c) A >= 5 
...Khi đó 1/A + 1/B + 1/C <= 1/5 + 1/7 + 1/11 < 2/3 (loại) 
Tóm lại có các TH sau 
 A = 2, B = 7, C = 19 
 A = 2, B = 7, C = 23 
 A = 2, B = 7, C = 29 
 A = 2, B = 7, C = 31 
 A = 2, B = 7, C = 37 
 A = 2, B = 7, C = 41 
 A = 2, B = 11, C = 13 

 A = 3, B = 5, C = 7 
Ứng với mỗi TH lại có thể tìm được 6 bộ 3 số nguyên tố a,b,c khác nhau.Vd ứng với TH đầu tiên ta có 
(a,b,c) = (2,7,19); (2,19,7); (7,2,19); (7,19,2); (19,2,7); (19,7,2) 
Vậy có tất cả 48 bộ 3 số nguyên tố a,b,c thỏa mãn điều kiện đầu bài . 

Ta có

\(20abc< 30\left(ab+bc+ca\right)< 21abc\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}< \frac{7}{10}\)

Không mất tính tổng quát ta giả sử \(a< b< c\)

\(\Rightarrow\frac{2}{3}< \frac{3}{a}\Rightarrow a=\left(2,3\right)\)(vì a nguyên tố)

Thế lần lược các giá trị a vào rồi làm tương tự như bước trên sẽ tìm được b, c (nhớ loại giá trị không đúng nhé)

Vai trò a, b, c là như nhau nên các giá trị a, b, c có thể đổi vị trí cho nhau nên chú ý để không bỏ xót nghiệm nhé

Từ giả thiết suy ra :

2/3<1/a+1/b+1/c<7/10   

Không giảm tính tổng quát giả sử a>b>c>1a>b>c>1

Suy ra : 2 /3<3/ c⇒2c<9

Do đó c∈{2;3}c∈{2;3}

∙∙ Với c=2c=2 suy ra 2/3<1/2+1/a+1/b<7/10⇒1/6<1/a+1/b<1523<12+1a+1b<710⇒16<1a+1b<15 (1)

⇒16<2b⇒16<2b và ⇒1b<15⇒1b<15

Do đó b∈{7;11}b∈{7;11}

Với b=7b=7 từ (1) suy ra 142<1a<235⇒a∈{19,23,29,31,37,41}142<1a<235⇒a∈{19,23,29,31,37,41}

Với b=11b=11 từ (1) suy ra 566<1a<655⇒a=13566<1a<655⇒a=13 (do a>ba>b )

∙∙ Với c=3c=3 từ giả thiết suy ra 

13<1a+1b<113013<1a+1b<1130 (*)

⇒13<2b⇒b<6⇒b=5⇒13<2b⇒b<6⇒b=5 (Do b>cb>c )

Thay b=5b=5 vào (*) ta có 6<a<152⇒a=76<a<152⇒a=7

Vậy ...............

nói chung là vào http://diendantoanhoc.net/topic/109893-t%C3%ACm-t%E1%BA%A5t-c%E1%BA%A3-c%C3%A1c-b%E1%BB%99-ba-s%E1%BB%91-nguy%C3%AAn-t%E1%BB%91-abc-%C4%91%C3%B4i-m%E1%BB%99t-kh%C3%A1c-nhau-th%E1%BB%8Fa-m%C3%A3n-%C4%91i%E1%BB%81u-ki%E1%BB%87n-20abc30abbcca21abc03/

Ta có: 30 < ab + ba + ac < 289 (Ở đây mình không cần biết là các số có chữ số nào khác nhau hay không, mình chỉ cần lấy 10 x số số hạng và 99 x số số hạng là mình sẽ giới hạn được đáp án)

Do 30 < ab + ba + ac < 289 và tổng là các số nguyên tố nên ta có các tổng sau: 36; 49; 64; 81; 100; 121; 144; 169; 196; 289.

Ta xét tổng thì ta lại có: 10a + b + 10b + c + 10c + a = 11a + 11b + 11c = 11(a + b + c)
Suy ra tổng chia hết cho 11 => Tổng của chúng chỉ còn là 121

Bây giờ ta có ab + ba + ac = 121; a + b + c = 11 và các số ab, bc, ca là các số nguyên tố 

Vậy có các kết quả đúng là 13 + 37 + 71 = 121 với a = 1; b = 3; c = 7

                                        và 17 + 73 + 31 = 121 với a = 1; b = 7; c = 3

                                        và các đáp án đảo ngược khác như a = 3; b = 1; c = 7 ;...