Gọi ƯCLN(12n + 1;30n + 4) = d . Ta có :

  12n + 1 ⋮ d => 5(12n + 1) = 60n + 5 ⋮ d

  30n + 4 ⋮ d => 2(30n + 4) = 60n + 8 ⋮ d

=> (60n + 8) - (60n + 5) ⋮ d

=> 3 ⋮ d => d ∈ Ư(3) ∈ {1;3} ( Vì ƯCLN ko có số nguyên âm)

Mặt khác :12n + 1 không chia hết cho 3 (Vì 12n ⋮ 3 nhưng 1 ko chia hết cho 3)

=> d = 1 . Vậy 2 số sau là 2 số nguyên tố cùng nhau 

Gọi d ∈ ƯC(12n + 1, 30n + 2} (d ∈ N)

Ta có:

(12n + 1)$⋮d\; và\; (30n\; +\; 2)⋮d$

$=>\; 5(12n\; +\; 1)⋮d\; và\; 2(30n\; +\; 2)⋮d$

$=>\; (60n\; +\; 5)⋮d\; và\; (60n\; +\; 4)⋮d$

$=>\; [(60n\; +\; 5)\; -\; (60n\; +\; 4)]⋮d$

$=>\; 1⋮d$

$=>\; d$∈ Ư(1)

=> d ∈ {1}

=> ƯC(12n + 1, 30n + 2) = {1}

=> ƯCLN(12n + 1, 30n + 2) = 1

Vậy 12n + 1 và 30n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n.

❤

Lời giải:

Gọi $d=ƯCLN(12n+1, 30n+2)$
$\Rightarrow 12n+1\vdots d; 30n+2\vdots d$

$\Rightarrow 5(12n+1)-2(30n+2)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

$\Rightarrow ƯCLN(12n+1, 30n+2)=1$

$\Rightarrow 12n+1, 30n+2$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

e có 2 chia hết cho d; 2n+3 lẻ nên (2n+3,4n+8)=1

còn n+1-n=1 nên (n,n+1)=1

\(d=\left(2n+1,\frac{n^2+n}{2}\right)=\left(2n+1,n^2+n\right)\text{vì }2n+1\text{ lẻ}\)

\(\Rightarrow2n^2+2n-2n^2-n\text{ chia hết cho d hay:}n\text{ chia hết cho d do đó: }2n+1-2n\text{ chia hết cho d }nên:\)

1 chia hết cho d nên: d=1.

ta có điều phải chứng minh.

a,A= { x \(\in\) Z/ -1945 < x \(\le\) 2023}

  A = { -1944; -1943; -1942;  -1941;... ......;2020; 2021; 2022; 2023}

b, Tổng các phần tử có trong tập hợp A là:

B = -1944 + ( -1943) + (-1942 ) + (-1941) +....+ 2020 + 2021 + 2022 + 2023

Các cặp số đối nhau có trong tổng B là 1944 cặp mà hai số đối nhau có ytoongr bằng 0 vậy tổng B là:

B = 0 x 1944 + 1945 + 1946 +....+ 2020+2021+2022 + 2023

B = 0 + (2023+1945).{ ( 2023 - 1945 ) : 1 + 1} : 2

B = 156736

Bài 2 : CM hai số  12n + 1 và 30n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau \(\forall\) n \(\in\) N

Gọi ước chung lớn nhất của 12n + 1 và 30n + 2 là d . Theo bài ra ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}60n+5⋮d\\60n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

 trừ vế cho vế ta được : 60n + 5 - (60n +4) \(⋮\) d

                                        60n + 5 - 60n - 4 \(⋮\) d

                                                                1 \(⋮\) d

                                                           \(\Rightarrow\) d = 1

Ước chung lớn nhất của 12n + 1 và 30n + 2 là 1 

Vậy  12n + 1 và  30n +2  là hai số nguyên tố cùng nhau (đpcm)

Giúp mình nha !

GẤP LẮM!