\(ĐKXĐ:x\ne m;x\ne1\)

\(\frac{x+2}{x-m}=\frac{x+1}{x-1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-1\right)=\left(x-m\right)\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-2=x^2-\left(m-1\right)x-m\)

\(\Leftrightarrow x-2=-\left(m-1\right)x-m\)

\(\Leftrightarrow x-2+\left(m-1\right)x+m=0\)

\(\Leftrightarrow mx+\left(m-2\right)=0\)

Đây là phương trình bậc nhất nên luôn có 1 nghiệm

Vậy pt có nghiệm duy nhất với mọi m.

Xét hệ x − ( m − 2 ) y = 2 ( m − 1 ) x − 2 y = m − 5

⇔ ( m − 2 ) y = x − 2 2 y = ( m − 1 ) x − m + 5 ⇔ ( m − 2 ) y = x − 2 y = m − 1 2 x − m 2 + 5 2

TH1: Với m – 2 = 0 ⇔ m = 2 ta có hệ 0. y = x − 2 y = 1 2 x + 3 2 ⇔ x = 2 y = 1 2 x + 3 2

Nhận thấy hệ này có nghiệm duy nhất vì hai đường thẳng x = 2 và y = 1 2 x + 3 2 cắt nhau

TH2: Với m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có hệ: ( m − 2 ) y = x − 2 y = m − 1 2 x − m 2 + 5 2 ⇔ y = 1 m − 2 x − 2 m − 2 y = m − 1 2 x − m 2 + 5 2

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng: d : y = 1 m − 2 x − 2 m − 2 và d ' : y = m − 1 2 x − m 2 + 5 2 cắt nhau

⇔ 1 m − 2 ≠ m − 1 2 ⇔ m   –   1 m   –   2 ≠ 2 ⇔   m 2 – 3 m + 2 ≠ 2   ⇔ m 2 – 3 m   0

Suy ra m ≠ {0; 2; 3}

Kết hợp cả TH1 và TH2 ta có m ≠ {0; 3}

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m ≠ {0; 3}

Đáp án: C

Thay x=-1 vào (*), ta được:

\(-m^2+4=2m+4\)

\(\Leftrightarrow-m^2-2m=4-4\)

\(\Leftrightarrow-m\left(m+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-m=0\)hoặc \(m+2=0\)

\(\Leftrightarrow m=0\)hoặc \(m=-2\)

Vậy khi m = 0, m = -2 thì (*) có nghiệm duy nhất là x = -1

a) Nếu m = -1 thì : \(4x-3=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}\) => pt có một nghiệm

Nếu \(m\ne-1\) , xét \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m+1\right)\left(m-2\right)=m^2-2m+1-\left(m^2-m-2\right)=-m+3\)

Để pt có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\) , tức là \(3-m>0\Leftrightarrow m< 3\)

Vậy để pt có hai nghiệm phân biệt thì \(\begin{cases}m< 3\\m\ne-1\end{cases}\)

b) Thay x = 2 vào pt đã cho  , tìm được m = -6

Suy ra pt : \(-5x^2+14x-8=0\Leftrightarrow\left(5x-4\right)\left(x-2\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=2\\x=\frac{4}{5}\end{array}\right.\)

Vậy nghiệm còn lại là x = 4/5

c) Áp dụng hệ thức Vi-et , ta có : \(\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1.x_2=m-2\end{cases}\)

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{7}{4}\Leftrightarrow4\left(x_1+x_2\right)=7x_1.x_2\)

\(\Rightarrow4.\left(2m-2\right)=7.\left(m-2\right)\Leftrightarrow8m-8=7m-14\Leftrightarrow m=-6\)

d) Ta có : \(A=2\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1.x_2=2\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1.x_2=8\left(m-1\right)^2-3\left(m-2\right)\)

\(=8m^2-19m+14=8\left(m-\frac{19}{16}\right)^2+\frac{87}{32}\ge\frac{87}{32}\)

=> Min A = 87/32 <=> m = 19/16

chtt