Chia $(x+2)(x+5)$ hay $(x+2)(x-5)$ vậy bạn?

Lời giải:

Gọi $ax+b$ là dư của $F(x)$ khi chia cho $(x+2)(x-5)$

Ta có:

$F(x)=2x(x+2)(x-5)+ax+b(*)$
Theo đề thì $F(-2)=8; F(5)=26$

Thay $x=-2$ vào $(*)$ thì:

$F(-2)=(-2)a+b=8(1)$

$F(5)=5a+b=26(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow a=\frac{18}{7}; b=\frac{92}{7}$

Khi đó:

$F(x)=2x(x+2)(x-5)+\frac{18}{7}x+\frac{92}{7}$

$=2x^3-6x^2-\frac{122x}{7}+\frac{92}{7}$

Áp dụng định lý Bezout ta có:

\(P\left(x\right)\)chia cho x-2 dư 1 \(\Rightarrow P\left(2\right)=1\left(1\right)\)

\(P\left(x\right)\)chia cho x+1 dư 2 \(\Rightarrow P\left(-1\right)=2\left(2\right)\)

Vì \(P\left(x\right)\)chia cho \(x^2-x-2\)thì được thương 2x-1 và còn dư

\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(x^2-x-2\right)\left(2x-1\right)+ax+b\)

                  \(=\left(x^2+x-2x-2\right)\left(2x-1\right)+ax+b\)

                   \(=\left[x\left(x+1\right)-2\left(x+1\right)\right]\left(2x-1\right)+ax+b\)

                   \(=\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(2x-1\right)+ax+b\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\)và \(\left(3\right)\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}-a+b=2\\2a+b=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{-1}{3}\\b=\frac{5}{3}\end{cases}\left(4\right)}\)

Thay (4) vào (3) ta được:

\(P\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(2x-1\right)-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\)

Vì \(f\left(x\right)⋮x-2;f\left(x\right):x^2-1\) dư 1\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot\left(x-2\right)\\f\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x^2-1\right)+x=q\left(x\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)+x\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(2\right)=0\\f\left(1\right)=1\\f\left(-1\right)=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}32+4a+2b+c=0\\2+a+b+c=1\\2+a-b+c=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2b+c=-32\left(1\right)\\a+b+c=-1\left(2\right)\\a-b+c=-3\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

 Trừ từng vế của (2) cho (3) ta được:

\(\Rightarrow2b=2\Rightarrow b=1\)

Thay b=1 vào lần lượt (1) ,(2),(3) ta được:

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2+c=-32\\a+1+c=-1\\a-1+c=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+c=-34\\a+c=-2\\a+c=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+c=-34\left(4\right)\\a+c=-2\left(5\right)\end{matrix}\right.\)

Trừ từng vế của (4) cho (5) ta được:

\(\Rightarrow3a=-32\Rightarrow a=-\dfrac{32}{3}\Rightarrow c=-2+\dfrac{32}{3}=\dfrac{26}{3}\) Vậy...

Em tham khảo bài tương tự tại đây nhé.

Câu hỏi của Bạch Quốc Huy - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Câu hỏi của Bạch Quốc Huy - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo bài tương tự tại đây nhé.