a: Xét hình thang ABCD có 

M là trung điểm của CD

MN//AD//BC

Do đó: N là trung điểm của AB

Xét tứ giác AMDN có 

AN//DM

AN=DM

Do đó: AMDN là hình bình hành

mà \(\widehat{A}=90^0\)

nên AMDN là hình chữ nhật

Xét tam giác ABC cân tại A có AM là phân giác 

=> đồng thời AM là đường trung tuyến => BM = MC 

Xét tam giác MDB và tam giác MEC ta có : 

^MBD = ^MCE ( gt ) 

BM = MC ( cmt ) 

^MDA = ^MEC = 90⁰

Vậy tam giác MDB = tam giác MEC ( ch - gv ) 

Xét ΔMDB vuông tại D và ΔMEC vuông tại E có

MB=MC

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)

Do đó: ΔMDB=ΔMEC

\(a,\) Vì ABCD là hbh nên \(AD=BC;AB//CD\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{CBD}\left(so.le.trong\right)\)

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AED}=\widehat{CFB}\left(=90^0\right)\\\widehat{ADB}=\widehat{CBD}\left(cm.trên\right)\\AD=BC\left(cm.trên\right)\end{matrix}\right.\) nên \(\Delta AED=\Delta CFB\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow DE=BF\left(1\right)\)

Mà O là giao 2 đường chéo hbh ABCD nên O là trung điểm AC,BD

\(\Rightarrow OB=OD\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow OB-BF=OD-DE\Rightarrow OE=OF\)

\(b,\) Xét tg AECF có O là trung điểm AC,EF nên là hbh

-Hình vẽ:

a) Ta có: \(\dfrac{CM}{BM}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{BM}{CM}=2\).

-Xét △ABC có: \(\dfrac{BM}{CM}=\dfrac{AN}{NC}=2\) .

\(\Rightarrow MN\)//\(AB\) (định lí Ta-let đảo).

b) -Xét △BCI có: MK//BI (cmt).

\(\Rightarrow\dfrac{MK}{BI}=\dfrac{CK}{CI}\) (định lí Ta-let) (1).

-Xét △ACI có: NK//AI (cmt).

\(\Rightarrow\dfrac{NK}{AI}=\dfrac{CK}{CI}\) (định lí Ta-let) (2).

-Từ (1) và (2) suy ra: \(\dfrac{MK}{BI}=\dfrac{NK}{AI}\)

 Mà \(BI=AI\) (I là trung điểm AB).

\(\Rightarrow MK=NK\) hay K là trung điểm MN.

a: AE=1/3x6=2(cm)

b: AE/AB=AF/AC

c: Xét ΔABC có EF//BC

nên AE/AB=AF/AC

=>AF/7=1/3

hay AF=7/3(cm)

a: \(S_{ABCD}=\dfrac{AD\cdot DC}{2}=\dfrac{12\cdot16}{2}=12\cdot8=96\left(cm^2\right)\)

b: MD=6cm

DO=5cm