\(1\cdot2+2\cdot5+3\cdot8+...+n\left(3n-1\right)=n^2\left(n+1\right)\left(1\right)\)

Khi n=1 thì ta có: \(1\cdot2=1^2\left(1+1\right)\)(đúng)

Khi n>1 thì k=n+1

Giả sử như (1) đúng với k=n, ta cần chứng minh nó cũng đúng với k=n+1, tức là ta sẽ cần chứng minh: 

\(1\cdot2+2\cdot5+3\cdot8+...+n\left(3n-1\right)+\left(n+1\right)\left(3n+3-1\right)=\left(n+1\right)^2\left(n+1+1\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(3n+2\right)=\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)\)

=>\(n^3+n^2+3n^2+2n+3n+2=\left(n^2+2n+1\right)\left(n+2\right)\)

=>\(n^3+4n^2+5n+2=n^3+2n^2+2n^2+4n+n+2\)

=>\(0n=0\)(đúng)

Vậy: (1) luôn đúng với mọi \(n\in Z^+\)

n\(\in\){0;1;3;4}

Bài 4:

1. 

Để $(n+5)(n+6)\vdots 6n$ thì trước hết $(n+5)(n+6)\vdots n$

$\Rightarrow n^2+11n+30\vdots n$

$\Rightarrow 30\vdots n$

$\Rightarrow n\in \left\{1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30\right\}$

Thử các TH trên ta thấy $n$ lớn nhất thỏa mãn là $n=30$

2.

Để $A(m; 2m)$ thuộc đths $y=3x-5$ thì:

$y_A=3x_A-5$

$\Rightarrow 2m = 3m-5$

$\Rightarrow m-5=0$

$\Rightarrow m=5$