Ta có:

\(\Delta=\left(m+2\right)^2-4\left(m-1\right)=m^2+4m+4-4m+4=m^2+8>0\left(\forall m\right)\)

=> PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi GT của m

Theo hệ thức viet ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-m-2\\x_1x_2=m-1\end{cases}}\)

Thay vào A ta được:

\(A=x_1^2+x_2^2-3x_1x_2\)

\(A=\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2\)

\(A=\left(-m-2\right)^2-5\left(m-1\right)\)

\(A=m^2+4m+4-5m+5=m^2-m+9\)

\(A=\left(m^2-m+\frac{1}{4}\right)+\frac{35}{4}\)

\(A=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{35}{4}\ge\frac{35}{4}\left(\forall m\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(m=\frac{1}{2}\)

Vậy \(Min_A=\frac{35}{4}\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

Δ = b² - 4ac = ( m + 2 )² - 4( m - 1 ) = m² + 4m + 4 - 4m + 4 = m² + 8 ≥ 8 > 0 ∀ m

hay phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Theo hệ thức Viète ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-m-2\\x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1\end{cases}}\)

Khi đó : A = x₁² + x₂² - 3x₁x₂ = ( x₁ + x₂ )² - 5x₁x₂

= ( -m - 2 )² - 5( m - 1 ) = m² + 4m + 4 - 5m + 5

= m² - m + 9 = ( m - 1/2 )² + 35/4 ≥ 35/4 ∀ m

Dấu "=" xảy ra <=> m = 1/2. Vậy MinA = 35/4

Phương trình có hai nghiệm

B = 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) + 16 − 3 x 1 x 2

= 2 ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 x 2 + 16 − 3 x 1 x 2 = 2 ( 2 m + 2 ) 2 − 4 ( m 2 + 2 ) + 16 − 3 ( m 2 + 2 ) = 4 m 2 + 16 m + 16 − 3 ( m 2 + 2 ) = 2 m + 4 − 3 ( m 2 + 2 ) = − 3 m 2 + 2 m − 2

Xét hàm số y = − 3 m 2 + 2 m − 2 với  m ≥ 1 2

Bảng biến thiên

Suy ra giá trị m a x m ≥ 1 2 y = − 7 4  khi  m = 1 2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là - 7 4 khi  m = 1 2

Đáp án cần chọn là: B

a. + Với  m = − 1 2   phương trình (1) trở thành x 2 − 4 x = 0 ⇔ x = 0 x = 4 .

+ Vậy khi  m = − 1 2  phương trình có hai nghiệm x= 0 và x= 4.

b. + Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi 

                            Δ = 2 m + 5 2 − 4 2 m + 1 > 0 x 1 + x 2 = 2 m + 5 > 0 x 1 . x 2 = 2 m + 1 > 0

+ Ta có  Δ = 2 m + 5 2 − 4 2 m + 1 = 4 m 2 + 12 m + 21 = 2 m + 3 2 + 12 > 0 , ∀ m ∈ R

+ Giải được điều kiện  m > − 1 2  (*).

+ Do P>0 nên P đạt nhỏ nhất khi P 2  nhỏ nhất.

+ Ta có P 2 = x 1 + x 2 − 2 x 1 x 2 = 2 m + 5 − 2 2 m + 1 = 2 m + 1 − 1 2 + 3 ≥ 3     ( ∀ m > − 1 2 ) ⇒ P ≥ 3    ( ∀ m > − 1 2 ) .

và P = 3  khi m= 0 (thoả mãn (*)).

+ Vậy giá trị nhỏ nhất  P = 3  khi m= 0.

Phương trình x 2 – 2(m + 4)x + m 2 – 8 = 0 có a = 1 ≠ 0 và

∆ ' = ( m + 4 ) 2 – ( m 2 – 8 ) = 8 m + 24

Phương trình có hai  x 1 ;   x 2 ⇔ ∆ ' ≥ 0 ⇔ 8 m + 24 ≥ 0

Áp dụng định lý Vi – ét ta có x 1 + x 2   = 2 ( m + 4 ) ;   x 1 . x 2 = m 2   –   8

Ta có:

A = x 1 + x 2 − 3 x 1 x 2

= 2 (m + 4) – 3 ( m 2 – 8) = 3 m 2 + 2m + 32 =  − 3 m 2 − 2 3 m − 32 3

= − 3 m − 1 3 2 + 97 3

Nhận thấy A ≤ 97 3  và dấu “=” xảy ra khi m − 1 3 = 0 ⇔ m = 1 3  (TM)

Vậy giá trị lớn nhất của A là 97 3 khi  m = 1 3

Đáp án: A

\(\Delta=\left(m+1\right)^2-4\left(m^2-2m+2\right)=-3m^2+10m-7\ge0\)

\(\Rightarrow1\le m\le\dfrac{7}{3}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+1\\x_1x_2=m^2-2m+2\end{matrix}\right.\)

\(P=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=\left(m+1\right)^2-2\left(m^2-2m+2\right)\)

\(=-m^2+6m-3\)

\(=\left(-m^2+6m-\dfrac{77}{9}\right)+\dfrac{50}{9}\)

\(=\left(\dfrac{11}{3}-m\right)\left(m-\dfrac{7}{3}\right)+\dfrac{50}{9}\le\dfrac{50}{9}\)

\(P_{max}=\dfrac{50}{9}\) khi \(m=\dfrac{7}{3}\)

\(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-\left(2m-2\right)\)

= m² + 2m + 1 - 2m + 2 = m² + 3 > 0 (vì m² ≥ 0)

⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂

Theo Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)

Ta có: x₁² + x₂² + 3x₁x₂ = 25

⇔ (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ + 3x₁x₂ = 25

⇔ (x₁ + x₂)² + x₁x₂ = 25

⇔ [2(m + 1)]² + (2m - 2) = 25

⇔ 4m² + 8m + 4 + 2m - 2 - 25 = 0

⇔ 4m² + 10m - 23 = 0

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{-5+3\sqrt{13}}{4}\\m=\dfrac{-5-3\sqrt{13}}{4}\end{matrix}\right.\)

Vậy m = ...

Xét \(\Delta=\text{​​}\)\(\left(-4m\right)^2-4\left(3m^2-3\right)\)\(=4m^2+12>0\forall m\)

=> Pt luôn có hai nghiệm pb

Theo viet \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4m\\x_1x_2=3m^2-3\end{matrix}\right.\)

\(P=\dfrac{2019}{\left|x_1-x_2\right|}\)\(\Leftrightarrow P^2=\dfrac{2019^2}{\left(x_1-x_2\right)^2}\)\(=\dfrac{2019^2}{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)\(=\dfrac{2019^2}{16m^2-4\left(3m^2-3\right)}\)

\(=\dfrac{2019^2}{4m^2+12}\le\dfrac{2019^2}{12}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{2019}{\sqrt{12}}\)

\(\Rightarrow P_{max}=\dfrac{2019\sqrt{12}}{12}\Leftrightarrow m=0\)

Vậy m=0