1) Cho x>y và xy=1. Chứng minh rằng \(\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{\left(x-y\right)^2}\ge8\)
2) Cho xy>1 Chứng minh rằng \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{1}{1+xy}\)
Cho x>0,y<0 và x+y=1/ Rút gọn biểu thức:
\(A=\frac{y-x}{xy}:\left[\frac{y^2}{\left(x-y\right)^2}-\frac{2x^2y}{\left(x^2-y^2\right)^2}+\frac{x^2}{x^2-y^2}\right]\)
Chứng minh rằng A<-4
chắc =1 đó chỉ cần đọc kĩ đề thôi
Cho \(x,y,z\ne0\)và đôi một khác nhau thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\). Chứng minh rằng
\(\left(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}\right)\left(x^{2016}+y^{2017}+z^{2018}\right)=xy+yz+zx\)
hơi dài mà lười nên mình nói cách làm nha :P
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow xy+yz+xz=0\)
bạn cm \(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}=0\)
tách: \(x^2+2yz=x^2+yz-xy-xz=\left(x-z\right).\left(x-y\right)\), mấy cái khác tương tự
quy đồng rồi tính ra = 0 là được
Chứng minh rằng phân thức sau đây không phụ thuộc vào x và y :
a, \(\frac{\left(x^2+a\right)\left(1+a\right)+a^2x^2+1}{\left(x^2-a\right)\left(1-a\right)+a^2x^2+1}\)
a, = x^2+a+x^2a+a^2+a^2x^2+1/x^2-a-x^2a+a^2+a^2x^2+1
= (x^2+1).(a^2+a+1)/(x^2+1)(a^2-a+1) = a^2+a+1/a^2-a+1
=> phân thức trên ko phụ thuộc vào biến x
=> ĐPCM
Nếu đúng thì k mk nha
Cho các số thực dương x,y. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}\ge\frac{1}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2+2x+2y+2}{\left(1+x+y+xy\right)^2}\ge\frac{1}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left[\left(x-y\right)^2+2\left(xy+x+y+1\right)\right]\ge\left(1+x+y+xy\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x-y\right)^2+\left(1+x+y+xy\right)\left(2+2xy-1-x-y-xy\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x-y\right)^2+\left(xy+1+x+y\right)\left(xy+1-x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x-y\right)^2+\left(xy+1\right)^2-\left(x+y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+xy\left(x-y\right)^2+x^2y^2+1-x^2-y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2+\left(xy-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Câu 1: Cho x,y là các số thực dương thõa mãn xy=1. Chứng minh rằng: \(\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2\right)+\frac{4}{x+y}\ge8\)
Câu hỏi của Tuấn Anh Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
\(A,\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right):\left(\frac{1}{x+1}-\frac{x}{1-x}+\frac{2}{x^2-1}\right)=\frac{4x}{\left(x+1\right)^2}\)
\(B,\frac{2+x}{2-x}:\frac{4x^2}{4-4x+x^2}\cdot\left(\frac{2}{2-x}-\frac{4}{8+x^2}\cdot\frac{4-2x+x^2}{2-x}\right)=\frac{1}{2x}\)
\(C,\left[\left(\frac{3}{x-y}+\frac{3x}{x^2-y^2}\right):\frac{2x+y}{x^2+2xy+y^2}\right]\cdot\frac{x-y}{3}=xy\)
Chứng minh đẳng thức ( tìm x)
mọi người giải dùm mình cảm ơn
a VT=.\(\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right):\left(\frac{1}{x+1}-\frac{x}{1-x}+\frac{2}{x^2-1}\right)\)
=\(\frac{\left(x+1\right)^2-\left(x-1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}:\frac{x-1+x\left(x-1\right)+2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\)
\(=\frac{x^2+2x+1-x^2+2x-1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}.\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x^2+2x+1}\)
\(=\frac{4x}{\left(x+1\right)^2}\)=VP
b.VT\(=\frac{2+x}{2-x}.\frac{\left(2-x\right)^2}{4x^2}.\left(\frac{2}{2-x}-\frac{4}{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}.\frac{4-2x+x^2}{2-x}\right)\)
=\(\frac{4-x^2}{4x^2}.\left(\frac{2}{2-x}-\frac{4}{4-x^2}\right)=\frac{4-x^2}{4x^2}.\frac{2\left(2+x\right)-4}{4-x^2}\)
=\(\frac{2x}{4x^2}=\frac{1}{2x}\)=VP
c VT=.\(\left[\left(\frac{3}{x-y}+\frac{3x}{x^2-y^2}\right).\frac{\left(x+y\right)^2}{2x+y}\right].\frac{x-y}{3}\)
\(=\left[\frac{3\left(x+y\right)+3x}{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}.\frac{\left(x+y\right)^2}{2x+y}\right].\frac{x-y}{3}\)
\(=\frac{3\left(2x+y\right)\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)\left(x-y\right)\left(2x+y\right)}.\frac{x-y}{3}\)
\(=x+y=\)VP
Vậy các đẳng thức được chứng minh
=
Với \(x\ne0\)và \(y\ne0\)Chứng minh rằng
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\)không phụ thuộc vào giá trị của x và y
\(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\)
\(=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left[\left(xy+\frac{1}{xy}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\right]\)
\(=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left(xy+\frac{1}{xy}-xy-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}-\frac{1}{xy}\right)\)
\(=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left(-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)\)
\(=-\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=-\left(x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)
\(-\left(x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(=4\)
Vậy giá trị bt ko phụ thuộc vào biến
bn có thể giải thích rõ hơn tại sao lại bằng 4 được không? Dù gì thì cx cảm ơn bn đã tl câu hỏi của mk
cho các số thực dương x,y,x thỏa mãn xy ≥ 1 và z ≥1
Chứng minh bất đẳng thức \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{z^3+2}{3\left(xy+1\right)}\ge\frac{3}{2}\)
ta có \(A=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{4}{xy}=\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}+\frac{4}{xy}=\frac{1}{x^2-xy+y^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}\)
áp dụng bất đẳng thức svác sơ ta có
\(\frac{1}{x^2-xy+y^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}\ge\frac{16}{x^2+y^2+2xy}=16\)
mà \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
=> \(\frac{1}{xy}\ge4\)
=> \(A\ge20\)
dấu = xảy ra <=> x=y=1/2
câu 1 bình phg chuyển vế cậu sẽ thấy điều kì diệu
câu 2 adbđt \(8\sqrt[4]{4x+4}=4\sqrt[4]{4.4.4\left(x+1\right)}\le x+13\)