Ta có:

\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{abc}{a^3+b^3+abc}+\frac{abc}{b^3+c^3+abc}+\frac{abc}{c^3+a^3+abc}\le1\)

Áp dụng BDT \(ab\left(a+b\right)\le a^3+b^3\)thì ta có:

\(\frac{1abc}{a^3+b^3+abc}\le\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{c}{a+b+c}\)

Tương tự ta có:

\(\hept{1\begin{cases}\frac{abc}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{a+b+c}\\\frac{abc}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{a+b+c}\end{cases}}\)

Cộng 3 cái trên vế theo vế ta được

\(\frac{abc}{a^3+b^3+abc}+\frac{abc}{b^3+c^3+abc}+\frac{abc}{c^3+a^3+abc}\le\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1\)

\(\Rightarrow\)ĐPCM

demonstrate that \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

Với mọi a,b >0 có \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)(tự CM). Dấu "=" xảy ra <=> a=b và a,b>0

<=> \(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)

<=> \(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

CM tương tự cx có :\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\)

\(\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ac\left(a+b+c\right)}\)

=>A= \(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ac\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}+\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)

<=> A\(\le\frac{1}{abc}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c>0

C/m: BDT:  \(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)   (1)

That vay ta co:

\(a^3+b^3+abc-ab\left(a+b+c\right)=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)   (luon dung)

Tuong tu ta co:  \(b^3+c^3+abc\ge bc\left(a+b+c\right)\)  (2)

                         \(c^3+a^3+abc\ge ca\left(a+b+c\right)\)   (3)

Tu (1), (2), (3)  suy ra:

\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)   (dpcm)

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

BĐT đầu đúng => \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)đúng. Dấu "=" xảy ra <=> a=b

Áp dụng vào bài toán: \(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

Tương tự: \(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

Cộng 3 cái trên lại: \(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)\(=\frac{c+a+b}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}.\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c.

một cửa hàng có 1 bao đường nặng 42kg. Ngày thứ nhất bán 2/7 bao đường. Ngày thứ hai bán 3/5 số đường còn lại. Hỏi sau hai ngày bán cửa hàng còn lai bao nhiêu kg đường

giải hộ mk nha

Ừ thì sai đề vô căn cứ đây!

Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức phụ với  \(a,b>0\), và với chú ý rằng nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức khi  \(a>b\) và  \(ab>0\)

Ta có:

\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)  \(\Leftrightarrow\)  \(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)  \(\left(1\right)\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)  \(\left(3\right)\) 

Cộng từng vế \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và  ​\(\left(3\right)\), ta được:

\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)

Dấu   \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c\)

bạn xem lại dấu BĐT ?

bạn thử thế a=1 c=2 b=3 vào là bik ngay đề sai

đúng đề rồi mà bạn

tt bài trên

a) Ta có BĐT:

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)ab\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

Tương tự cho 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}=VP\)

Khi \(a=b=c\)

cảm ơn ạ

câu 1 . Theo bđt côsi ta có \(a^3+b^3\ge ab(a+b)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab(a+b)+abc}=\frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{abc(a+b+c)}\)

tương tự \(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc(a+b+c)}\)và\(\frac{1}{a^3+c^3+abc}\le\frac{b}{abc(a+b+c)}\)

Cộng vế theo vế ta có  \(\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{b^3+a^3+abc}+\frac{1}{a^3+c^3+abc}\le\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}=\frac{1}{abc}\)

\(\RightarrowĐPCM\)