\(x^2+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2+2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2-2\left(1+xy\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2-2\left(x+y\right).\frac{xy+1}{x+y}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=\frac{xy+1}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow xy+1=\left(x+y\right)^2\)

Vì x,y là các số hữu tỉ nên xy + 1 là bình phương của 1 số hữu tỉ (đpcm)

Thật sự ra mục đích bài này đi chứng minh biểu thức trong ngoặc là scp

Đây là dề thi HSG toán cấp tỉnh Đồng Tháp

Có: \(\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}\)

\(=\sqrt{\left(x^2+xy+yz+xz\right)\left(y^2+xy+yz+xz\right)\left(z^2+xy+yz+xz\right)}\)

Sau đó thực hiên phân tích đa thức thành nhân tử mỗi ngoặc

\(=\sqrt{\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(x+z\right)^2}\)

\(=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)là số hữu tỉ

Vậy

Câu số 1b đề thi hsg

Chào anh từ  huyện Cao Lãnh 

ta có 

\(\frac{1-2x}{1-x}+\frac{1-2y}{1-y}=1\Leftrightarrow\left(1-2x\right)\left(1-y\right)+\left(1-2y\right)\left(1-x\right)=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\)

\(\Leftrightarrow1-2\left(x+y\right)+3xy=0\)

Vậy \(M=x^2+y^2-xy+\left(1-2\left(x+y\right)+3xy\right)=\left(x+y+1\right)^2\)

vậy ta có đpcm

a) \(4\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x+y+z\right)^2\) là bình phương 1 số hữu tỉ => 4(xy+yz+zx) cũng là bp số hữu tỉ mà 4=2² => xy+yz+zx là bp 1 số hữu tỉ 

b) \(x^2+y^2+z^2=2\left(xy+yz+zx\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2+z^2=4xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2-2z\left(x+y\right)+z^2=4xy\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y-z\right)^2=4xy\)

Do (x+y-z)² là bình phương 1 số hữu tỉ => 4xy là bp số hữu tỉ => xy là bp số hữu tỉ 

Câu hỏi của Nguyễn Phong - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

\(\frac{1-2x}{1-x}=1\)

\(\Leftrightarrow1-x=1-2x\)

\(\Leftrightarrow-x+2x=1-1\)

\(\Leftrightarrow x=0\)

Tương tự ta cũng có \(y=0\)

Khi đó : \(x^2+y^2-xy=0^2+0^2-0\cdot0=0=0^2\left(đpcm\right)\)

Sai đề ạ:

\(\frac{1-2x}{1-x}+\frac{1-2y}{1-y}=1\)