Cho 2 đường tròn đồng tâm (O;R) và ( O;r). Dây AB cảu (O;R) tiếp xúc với(O;r).Trên tia AB lấy điểm E sao cho B là trung điểm đoạn AE. Từ E vẽ tiếp tuyển thứ 2 của (O;r) cắt (O;R) tại C và D( D ở giữa E và C)
a. CM: EA=EC
b. CM: EO vuông góc BD
c. Điểm E chạy trên đường nào khi dây AB của (O;R) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với (O;r)?
a/ Vì E là giao điểm của 2 tiếp tuyến của đường tròn (O;r) nên EF = EF' (1)
Dễ dàng chứng minh được \(\Delta OAF=\Delta OF'C\left(\text{2 cạnh góc vuông}\right)\)
=> AF = CF' (2)
Cộng (1) và (2) theo vế được ĐPCM
b/ Từ AF = 2CF' suy ra được AB = CD
ta chứng minh được AE = EC
kết hợp hai điều trên suy ra được tam giác ABD là tam giác cân có
OE là tia phân giác (E là giao điểm hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra đpcm
c/ Ta có AB = BE , AF = FB
=> \(OE=\sqrt{OF^2+EF^2}=\sqrt{r^2+\left(3AF\right)^2}=\sqrt{r^2+9.\left(R^2-r^2\right)}\)
\(\sqrt{9R^2-8r^2}\) không đổi. Mà O cố định nên E thuộc \(\left(O;\sqrt{9R^2-8r^2}\right)\)
Cho O R; và điểm A nằm ngoài đường tròn với OA R 2 . Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB AC , của đường tròn O (B C, là tiếp điểm). Vẽ dây BE của đường tròn O song song với AC ; AE cắt O tại D khác E ; BD cắt AC tại S . Gọi M là trung điểm của đoạn DE . a) Chứng minh năm điểm A B C O M , , , , cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn này. b) Chứng minh 2 SC SB SD . . c) Hai đường thẳng DE và BC cắt nhau tại Q ; đường thẳng SQ cắt BE tại H . Chứng minh ba điểm H O C , , thẳng hàng.
a: ΔODE cân tại O
mà OM là trung tuyến
nên OM vuông góc DE
=>góc OMA=90 độ=góc OCA=góc OBA
=>O,A,B,M,C cùng thuộc 1 đường tròn
b: Xét ΔBSC và ΔCSD có
góc SBC=góc SCD
góc S chung
=>ΔBSC đồng dạng với ΔCSD
=>SB/CS=SC/SD
=>CS^2=SB*SD
góc DAS=gócEBD
=>góc DAS=góc ABD
=>ΔSAD đồng dạng với ΔSBA
=>SA/SB=SD/SA
=>SA^2=SB*SD=SC^2
=>SA=SC
c; BE//AC
=>EH/SA=BH/SC=HJ/JS
mà SA=SC
nênHB=EH
=>H,O,C thẳng hàng
Câu 4:( 4 điểm ) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn ( O,R ) sao cho OM = 3R, vẽ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn ( O,R ) (A, B là các tiếp điểm). a ) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp và OM là đường trung trực của đoạn AB. b ) Tính độ dài đoạn thẳng MA, AB theo R. c) Vẽ dây AC song song MB, đường thẳng MC cắt đường tròn (O,R) tại điểm thứ hai là D, tia AD cắt MB tại E. Chứng minh: E là trung điểm của đoạn MB
Cho đường tròn (O; R) và một điểm A trên (O). Trên đoạn OA lấy điểm B sao cho OB = 1 3 OA
a, Chứng minh đường tròn đường kính AB tiếp xúc với (O)
b, Đường tròn (O; R') với R R' cắt đường tròn đường kính AB tại C. Tia AC cắt hai đường tròn đổng tâm tại D và E với D nằm giữa C và E. Chứng minh AC = CD = DE
a, Gọi I là trung điểm của AB, ta có: OI = OA – IA
b, Ta chứng minh được IC//BD//OE
Mà OB = BI = IA => AC = CD = DE
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) sao cho OM=3R, vẽ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O;R) (A,B là các tiếp điểm
a) CM: tứ giác MAOB nội tiếp và OM là đường trung trực của đoạn AB
b) Tính độ dài đoạn thẳng MA, AB theo R
c) Vẽ dây AC song song MB, đường thẳng MC cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là D, tia AD cắt MB tại E. Chứng minh: E là trung điểm của đoạn MB (các bạn ráng giúp mình câu c này nha)
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn ( O,R ) sao cho OM = 3R, vẽ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn ( O,R ) (A, B là các tiếp điểm).
a ) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp và OM là đường trung trực của đoạn AB.
b ) Tính độ dài đoạn thẳng MA, AB theo R.
c) Vẽ dây AC song song MB, đường thẳng MC cắt đường tròn (O,R) tại điểm thứ hai là D, tia AD cắt MB tại E. Chứng minh: E là trung điểm của đoạn MB.(giúp mình con này)
) Từ điểm A ở ngoài (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến (O; R), ( với B, C là các tiếp điểm ). Kẻ đường kính BD của (O; R). Tia AO cắt dây BC tại H. a) Chứng minh OA là trung trực của đoạn thẳng BC và OA // CD b) AD cắt (O; R) tại E (E khác D). Chứng minh BED vuông và AC2 = AE . AD c) Chứng minh: 𝑂𝐻𝐷 ̂ = 𝑂𝐷𝐴
Cho đường tròn (O; R) đường kính BC và một điểm A nằm trên đường tròn sao
cho AB = R. Gọi H là trung điểm của dây cung AC.
a) Tính số đo các góc của tam giác ABC.
b) Qua C vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt tia OH tại D. Chứng minh DA là tiếp
tuyến của đường tròn (O).
c) Tính độ dài bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD theo R.
d) Trên tia đối của tia AC lấy điểm M, từ M vẽ hai tiếp tuyến ME và MF với đường
tròn (O) tại E và F. Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Cho các đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc trong với nhau tại A (R > R’). Vẽ đường kính AB của (O), AB cắt (O’) tại điểm thứ hai C. Từ B vẽ tiếp tuyến BP với đường tròn (O’), BP cắt (O) tại Q. Đường thẳng AP cắt (O) tại điểm thứ hai R. Chứng minh:
a, AP là phân giác của B A Q ^
b, CP và BR song song với nhau
a, Sử dụng AQ//O'P
=> Q A P ^ = O ' A P ^ => Đpcm
b, CP//BR (cùng vuông góc AR)
