Ta có:

\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M>\frac{a+b+c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M>1\) (1)

Ta có:

\(\frac{a}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{b+c}< 1\Rightarrow\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}< 1\Rightarrow\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M< 2\) (2)

Từ (1) và (2) => 1 < M < 2

=> M không phải là một số nguyên dương (đpcm)

CM :        1 < M < 2 

áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau, ta có

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{a+b+c}{a+b+b+c+c+a}=\frac{a+b+c}{\left(a+b+c\right)\cdot2}=\frac{ }{ }\)\(=\frac{1}{2}\)

=>Vậy nếu a;b;c>0->\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)ko phải là 1 số nguyên dương

k cho mk

Ta có:   \(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

            \(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)

             \(\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng 3 BĐT trên vế theo vế ta được:

          \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)

Vậy \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) ko thể là số nguyên dương.

có

\(P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+B}.\)

\(P>\frac{\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)}=1\)

suy ra P là số nguyên dương

bn Pian Thiên Đạo sai rồi, P > 1 thì có thể là 1,2; 1,3; 1,4;... mà ! các số đó đều lớn hơn 1 đấy thôi nhưng đâu là số nguyên dương

Gọi số dư của a và b khi chia m là n 

Ta có: a=m*k+n 

          b=m*h+n

=>a-b=m*k+n -(m*h+n)

=m*k+n-m*h-n

=(m*k-m*h)+(n-n)

=m(k-h) luôn chia hết m

Đpcm 

\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c},\frac{b}{b+c}>\frac{b}{b+c+a},\frac{c}{c+a}>\frac{c}{c+a+b}\)

\(\Rightarrow A>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\frac{a}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c},\frac{b}{b+c}< 1\Rightarrow\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{b+c+a},\frac{c}{a+a}< 1\Rightarrow\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{c+a+b}\)

\(\Rightarrow A< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{c+a+b}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Vậy \(1< A< 2\Rightarrow A\)không phải là một số nguyên dương

bài này mình làm rồi

Ta có:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)

                                               \(>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\left(1\right)\)

Áp dụng a/b < 1 => a/b < a+m/b+m (a,b,m thuộc N*)

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}\)

                                               \(< \frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)=> \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)không là số nguyên dương

Ta có: \(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{c+a}>\frac{b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(1)

Lại có: \(\frac{a}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{a+b}< \frac{c+a}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{a+b+c}=\frac{a+b+b+c+c+a}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2)

Từ (1);(2) => 1 < M < 2 => đpcm

k nguyên dương => \(k\ge1\)\(\Leftrightarrow\)\(a^k\ge a\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^k}{b+c}\ge\frac{a}{b+c}\)

Tương tự với 2 phân thức còn lại, cộng 3 bđt ta thu đc bđt Nesbit 3 ẩn => đpcm 

Ủa bất đẳng thức \(a^k\ge a\)chỉ đúng với a>1 thôi

Mà cách này của em có đúng không ạ

Dùng điểm rơi a=b=c=1

Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM:\(\frac{a^k}{b+c}+\frac{b+c}{4}+\frac{4}{8}+...+\frac{2^{k-1}}{2^k}\ge\frac{k}{2}a\)

Tương tự rồi cộng các vế tương ứng ta được:\(\frac{a^k}{b+c}+\frac{b^k}{c+a}+\frac{c^k}{a+b}+\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)+\frac{3}{2}\left(k-2\right)\ge\frac{k}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^k}{b+c}+\frac{b^k}{c+a}+\frac{c^k}{a+b}\ge\left(\frac{k}{2}-\frac{1}{2}\right)\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}k+3\)

Bây giờ chuẩn hóa(em không chắc có được hay không) a+b+c=3

\(\Rightarrow\frac{a^k}{b+c}+\frac{b^k}{c+a}+\frac{c^k}{a+b}\ge\frac{3}{2}k-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}k+3=\frac{3}{2}\)

Ta có:

\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\);    

\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)

Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)                 (1)

Ta lại có:

\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)

Vậy P không phải là số nguyên