Cho a,b,c ∈ R và \(\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}=1\)
Chứng minh ab+bc+ca≤ 3
Những câu hỏi liên quan
Cho a,b,c>0, chứng minh:\(\frac{1}{a^2+ab+bc}+\frac{1}{b^2+bc+ca}+\frac{1}{c^2+ca+ab}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
cho a,b>0. Chứng minh rằng
\(\frac{2}{a^2+bc}+\frac{2}{b^2+ca}+\frac{2}{c^2+ab}\le\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{ab}\)
Bài này dùng AM-GM chắc cũng nhàm rồi nên em đổi kiểu nha.
\(VP-VT=\Sigma_{cyc}\frac{\left(ab+ac-2bc\right)^2+bc\left(b-c\right)^2}{2abc\left(b+c\right)\left(a^2+bc\right)}\ge0\)
Cho a,b,c>0 Chứng minh \(\frac{a^3+2}{ab+1}+\frac{b^3+2}{bc+1}+\frac{c^3+2}{ca+1}\ge\frac{9}{2}\)
Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=1.Chứng minh:
\(\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}< =\frac{3}{2}\)3/2
Ta có \(\frac{a.1-bc}{a.1+bc}==\frac{a^2+ac}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a}{a+b}\)
Từ đó \(\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
\(=-\left(\frac{a}{c-1}+\frac{b}{a-1}+\frac{c}{b-1}\right)=-\left(\frac{a^2}{ca-a}+\frac{b^2}{ab-b}+\frac{c^2}{bc-c}\right)\)
\(\le-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca-\left(a+b+c\right)}=-\frac{1}{ab+bc+ca-1}\le-\frac{1}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-1}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}.\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a, b, c là các số dương và a+b+c=1 chứng minh rằng: \(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{15}{4}\)
vì \(a+b+c=1\)
\(< =>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\)
\(=3+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}\)
\(=3+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\)
ta có pt:
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{1}{4}\left(3+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\right)\)
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{3}{4}+\frac{a^2+b^2}{4ab}+\frac{b^2+c^2}{4bc}+\frac{c^2+a^2}{4ca}\)
áp dụng bđt cô- si( cauchy) gọi pt là P
\(P\ge2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}\frac{a^2+b^2}{4ab}}+2\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}\frac{b^2+c^2}{4bc}}+2\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}\frac{c^2+a^2}{4ca}}+\frac{3}{4}\)
\(P\ge2\sqrt{\frac{1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{3}{4}\)
\(P\ge2.\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\)
\(P\ge1+1+1+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
<=>ĐPCM
Cho a,b,c>0 và \(a^2+b^2+c^2=1\)Chứng minh:
\(\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}+\sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}+\sqrt{\frac{ca+2b^2}{1+ca-b^2}}\ge2+ab+bc+ca\)
Cho \(a,b,c>0\)và \(ab+bc+ca=1\). Chứng minh \(M=\frac{1-a^2}{1+a^2}+\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\le\frac{1}{8}+\frac{b^2}{1+b^2}+\frac{c^2}{1+c^2}+\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)
Cho a, b, c > 0. Chứng minh : \(\frac{1}{2a^2+bc}+\frac{1}{2b^2+ca}+\frac{1}{2c^2+ab}\le\left(\frac{a+b+c}{ab+bc+ca}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2a^2+bc}\le\left(a+b+c\right)^2\)
Ta có: \(\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2a^2+bc}\le\frac{\left(ab+ca\right)^2}{2a^2}+\frac{\left(bc\right)^2}{bc}=\frac{\left(b+c\right)^2}{2}+bc\)
Tương tự rồi cộng lại ta thu được:
\(L.H.S\le\frac{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2}{2}+ab+bc+ca\)
\(=\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}{2}+ab+bc+ca\)\(=\left(a+b+c\right)^2\)
P/s: Nhìn đơn giản chứ nó là bao nhiêu ngày suy nghĩ đấy ạ:( Chả biết đúng hay sai nữa:v
Cho a; b; c > 0 sao cho a+b+c=3. Chứng minh rằng
\(\frac{a}{b^2\left(ca+1\right)}+\frac{b}{c^2\left(ab+1\right)}+\frac{c}{a^2\left(bc+1\right)}\ge\frac{9}{\left(1+abc\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)