1. Tìm GTNN của A=\(\frac{16x^2+4x+1}{2x}\) với x>0
2. Tìm GTNN của B=\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) với a>0, b>0 và a+b=10
Tìm GTNN của biểu thức \(B=\frac{16x^2+4x+1}{2x}\) với x>0.
Viết B dưới dạng \(8x+2+\frac{1}{2x}\). Hai số \(8x\) và \(\frac{1}{2x}\) là hai số dương , có tích không đổi ( bằng 4 ) nên tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi :
\(8x=\frac{1}{2x}\Leftrightarrow16x^2=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\left(x>0\right)\)
Vậy \(Min_B=\frac{1+1+1}{\frac{1}{2}}=6\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}.\)
Tìm GTNN của biểu thức \(A=\frac{16x^2+4x+1}{2x}\) với x > 0
Ta có : \(A=\frac{16x^2+4x+1}{2x}=8x+2+\frac{1}{2x}\)
Áp dụng bđt Cauchy : \(8x+\frac{1}{2x}\ge2\sqrt{8x.\frac{1}{2x}}=4\)
\(\Rightarrow A\ge6\)
Vậy MIN A = 6 \(\Leftrightarrow\begin{cases}x>0\\8x=\frac{1}{2x}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)
Cách khác nhanh hơn:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(16x^2+4x+1\ge3\sqrt[3]{4^2.x^2.4x}=3.4x=12x\)
Suy ra \(A\ge\frac{12x}{2x}=6\).
Đẳng thức xảy ra khi \(16x^2=4x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)
________________
P/S: Cách này nhanh hơn avf không đòi hỏi phải tính toán nhiều :D
Tìm GTLN và GTNN (nếu có) của M = \(\frac{4x+1}{x^2+3}\)
Cho a,b,c ? 0 và a + b + c = 3. Tìm GTNN của A = \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Áp dụng bdtd quen thuộc :
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Chứng minh bđt nha ( quên mất )
Áp dụng bđt Cauchy :
\(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\end{cases}}\)
Nhân từng vế của 2 bđt ta được đpcm
Dấu "=" khi \(a=b=c\)
\(M=\frac{4x+1}{x^2+3}\)
\(\Leftrightarrow Mx^2+3M=4x+1\)
\(\Leftrightarrow Mx^2-4x+3M-1=0\)(1)
*Nếu M = 0 thì x = -1/4
*Nếu M khác 0 thì (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)
\(\Leftrightarrow4-M\left(3M-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow4-3M^2+M\ge0\)
\(\Leftrightarrow-1\le M\le\frac{4}{3}\)
Tìm GTNN của các biểu thức:
a, \(P=2x+\frac{1}{\left(x-1\right)^2}\) với x > 1
b, \(P=2x+\frac{x^2}{x+1}\)với x > 0
c, \(P=\frac{4x}{1-x}+\frac{1}{x}\)với 0 < x < 1
d, \(P=\frac{\left(a+b\right)^2}{a-b}\)với a > b và ab = 1
Đây là bài tìm GTNN mà đâu phải BĐT (BĐT mình hơi ngu).
Bài 1: Cho x+2y=1. Tìm GTNN của A=x2+2y2
Bài 2: Cho xy=1. Tìm GTNN của B=|x+y|
Bài 3: Tìm GTNN của
a) A=\(\frac{2x^2-16x+41}{x^2-8x+22}\)
b) B=\(\frac{x^2-4x+1}{x^2}\)
Bài 1 bạn phải dùng BDT Bunhiacopxki : ( ax +by )2 <= ( nhỏ hơn bằng ) ( a2 + b2 )( x2 + Y2 )
Ở đây hệ số của x là 1 nên a là 1.
Ta có: ( x + 2y )2 <= ( 12 + (căn2)2 ) ( x2 + ( căn 2 )2y2 )
=> 1 <= 3 ( x2 + 2y2 )
=> x2 + 2y2 >= 1/3
Giúp mink với !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
a) Tìm GTLN của \(N=\frac{2x^2-16x+50}{x^2-8x+22}\)
b) Tìm GTNN của \(M=\frac{3x^2-4x}{x^2+1}\)
a, N = 2 + 6/x^2-8x+22
Có : x^2-8x+22 = (x-4)^2 + 6 >= 6 => 6/x^2-8x+22 <= 6/6 = 1 => N <= 2+1=3
Dấu "=" xảy ra <=> x-4 = 0 <=> x=4
Vậy Max N =3 <=> x=4
k mk nha
Cảm ơn bạn đã giúp mink nhưng bạn làm kiểu thế mink ko hiểu. Mong bạn sửa lại !
1. TÌm GTNN:
a, M=\(\frac{x^4+1}{\left(x^2+1\right)^2}\)
b, N=\(\frac{x^2}{-4y^2+20xy-29x^2}\)
2. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:
a,A=\(\frac{2x^2-2x+9}{x^2+2x+5}\)
b, B=\(\frac{4x^3}{x^2+1}\)
c, C=\(\frac{2\left(x^2+x+1\right)}{x^2+1}\)
d, D=\(\frac{x^2+xy+y^2}{x^2+y^2}\)với x khác 0
1, cho a>0 b>0 thỏa mãn a+b=5.Tòm GTNN của P=\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)
2/cho a>0,b>0,c>0 và a+b+c=1 Tìm GTNN của A=\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Tìm GTNN của \(M=\frac{1}{ab} +\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\) với a+b=1 và a;b>0
Lời gải:
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz và BĐT AM-GM:
$M=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+ab}+\frac{1}{a^2+b^2}$
$\geq \frac{(1+1+1+1+1)^2}{2ab+2ab+a^2+ab+b^2+ab+a^2+b^2}=\frac{25}{2a^2+2b^2+6ab}$
$=\frac{25}{2(a^2+b^2+2ab)+2ab}$
$=\frac{25}{2(a+b)^2+2ab}=\frac{25}{2+2ab}\geq \frac{25}{2+2.\frac{(a+b)^2}{4}}=\frac{25}{2+\frac{2}{4}}=10$
Vậy $M_{\min}=10$. Giá trị này đạt tại $a=b=\frac{1}{2}$