Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn \(a^2\cdot b^2+c^2\cdot b^2+1\le3b\)
Tìm GTNN của biểu thức P=\(\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{4\cdot b^2}{\left(1+2\cdot b\right)^2}+\frac{8}{\left(c+3\right)^2}\)
Những câu hỏi liên quan
cho a, b, c là 3 số thực khác 0, thỏa mãn
\(\frac{a+b-2017\cdot c}{c}=\frac{b+c-2017\cdot a}{a}=\frac{c+a-2017\cdot b}{b}\)
tính giá trị của biểu thức
B=\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\cdot\left(1+\frac{a}{c}\right)\cdot\left(1+\frac{c}{a}\right)\)
Thu gọn biểu thức sau :
a) \(\left(\frac{1}{2}+1\right)\cdot\left(\frac{1}{4}+1\right)\cdot\left(\frac{1}{16}+1\right)\cdot\cdot\cdot\left(1+\frac{1}{2^{2n}}\right)\)
b) \(\left(2+1\right)\cdot\left(2^2+1\right)\cdot\left(2^4+1\right)\cdot\left(2^8+1\right)\cdot\left(2^{16}+1\right)\cdot\left(2^{32}+1\right)-2^{64}\)
\(b,\)\(B=\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right)-2^{64}\)
\(\Rightarrow B=1.\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right)-2^{64}\)
\(\Rightarrow B=\left(2-1\right)\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right)-2^{64}\)
\(\Rightarrow B=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right)-2^{64}\)
\(\Rightarrow B=\left(2^4-1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right)-2^{64}\)
\(\Rightarrow B=\left(2^8-1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right)-2^{64}\)
\(\Rightarrow B=\left(2^{16}-1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right)-2^{64}\)
\(\Rightarrow B=\left(2^{32}-1\right)\left(2^{32}+1\right)-2^{64}\)
\(\Rightarrow B=2^{64}-1-2^{64}=-1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
a) Đặt \(A=\left(\frac{1}{2}+1\right).\left(\frac{1}{4}+1\right).\left(\frac{1}{16}+1\right)...\left(1+\frac{1}{2^{2n}}\right)\)
Rút gọn: \(A=\frac{2+1}{2}.\frac{4+1}{4}.\frac{16+1}{16}...\frac{2^{2.n}+1}{2^{2.n}}=\frac{2^{2.0}+1}{2^{2.0}}.\frac{2^{2.1}+1}{2^{2.1}}.\frac{2^{2.2}+1}{2^{2.2}}...\frac{2^{2.n}+1}{2^{2.n}}\)
\(\Rightarrow A=\frac{\left(2^{2.0}+1\right).\left(2^{2.1}+1\right).\left(2^{2.2}+1\right)...\left(2^{2.n}+1\right)}{2^{2.0}.2^{2.1}.2^{2.2}...2^{2.n}}.\)
b) Đặt \(B=\left(2+1\right).\left(2^2+1\right).\left(2^4+1\right).\left(2^8+1\right).\left(2^{16}+1\right).\left(2^{32}+1\right)-2^{64}\)
\(\Leftrightarrow B=\left(2-1\right).\left(2+1\right).\left(2^2+1\right)...\left(2^{32}+1\right)-2^{64}=\left(2^2-1\right).\left(2^2+1\right)...\left(2^{32}+1\right)-2^{64}\)
\(\Leftrightarrow B=\left(2^4-1\right).\left(2^4+1\right).\left(2^8+1\right)...\left(2^{32}+1\right)-2^{64}=\left(2^8-1\right).\left(2^8+1\right)...\left(2^{32}+1\right)-2^{64}\)
\(\Leftrightarrow B=\left(2^{16}-1\right).\left(2^{16}+1\right).\left(2^{32}+1\right)-2^{64}=\left(2^{32}-1\right).\left(2^{32}+1\right)-2^{64}\)
\(\Leftrightarrow B=2^{64}-1-2^{64}=-1\)Vậy B =-1.
Đúng 0
Bình luận (0)
Hi :DSau đây là một số bài mình sưu tầm được và mình post lên đây nhầm mong muốn các bạn đóng góp lời giải của mình vàoCâu 1:Với a,b,c là các số thực dương và abc1.Chứng minh rằng:frac{1}{4a^2-2a+1}+frac{1}{4b^2-2b+1}+frac{1}{4c^2-2c+1}ge1left(cdotright)Câu 2:Với a,b,c là các số thực dương và abc1.Chứng minh rằng:frac{1}{sqrt{4a^2+a+4}}+frac{1}{sqrt{4b^2+b+4}}+frac{1}{sqrt{4c^2+c+4}}le1left(cdotcdotright)Câu 3:Với a,b,c,d là các số thực dương và frac{1}{a+3}+frac{1}{b+3}+frac{1}{c+3}+frac{1}{d+...
Đọc tiếp
Hi :D
Sau đây là một số bài mình sưu tầm được và mình post lên đây nhầm mong muốn các bạn đóng góp lời giải của mình vào
Câu 1:
Với a,b,c là các số thực dương và \(abc=1\).Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{4a^2-2a+1}+\frac{1}{4b^2-2b+1}+\frac{1}{4c^2-2c+1}\ge1\left(\cdot\right)\)
Câu 2:
Với a,b,c là các số thực dương và \(abc=1\).Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\sqrt{4a^2+a+4}}+\frac{1}{\sqrt{4b^2+b+4}}+\frac{1}{\sqrt{4c^2+c+4}}\le1\left(\cdot\cdot\right)\)
Câu 3:
Với a,b,c,d là các số thực dương và \(\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}+\frac{1}{d+3}=1\).Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{a^2+3}+\frac{b}{b^2+3}+\frac{c}{c^2+3}+\frac{d}{d^2+2}\le1\left(\cdot\cdot\cdot\right)\)
Câu 4:
Với a,b,c,d thõa mãn điều kiện \(a+b+c+d=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\),Chứng minh rằng:
\(2\left(a+b+c+d\right)\ge\sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3}+\sqrt{c^2+3}+\sqrt{d^2+3}\left(\cdot\cdot\cdot\cdot\right)\)
Câu 5:
Với a,b,c là các số thực không âm.Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2-bc}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2-ca}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{c^2-ab}{a^2+b^2+2c^2}\ge0\left(\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\right)\)
Continue...
Bài 1. Ta có: \(a\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2\ge0\therefore\frac{1}{4a^2-2a+1}\ge\frac{1}{a^4+a^2+1}\)
Thiết lập tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế rồi dùng Vasc (https://olm.vn/hoi-dap/detail/255345443802.html)
Bài 5: Bất đẳng thức này đúng với mọi a, b, c là các số thực. Chứng minh:
Quy đồng và chú ý các mẫu thức đều không âm, ta cần chứng minh:
\(\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\Sigma\left[\left(a^2+b^2\right)+2c^2\right]\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đây là điều hiển nhiên.
Tính các tích sau: với n là số tự nhiên, n<3
a) \(\left(1-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{4}\right)\cdot...\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\)
b) \(\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{4^2}\right)\cdot...\cdot\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\)
Bài 1: cho a,b,cge0 và a+b+c1. Chứng minh rằng :a,left(1-aright)cdotleft(1-bright)cdotleft(1-cright)ge8cdot acdot bcdot cb,16cdot acdot bcdot cge a+bc,frac{a}{1+a}+frac{2cdot b}{2+b}+frac{3cdot c}{3+c}lefrac{6}{7}Bài 2: cho a,b,c0 và a.b.c0 chứng minh rằng:frac{bcdot c}{a^2cdot b+a^2cdot c}+frac{acdot c}{b^2cdot c+b^2cdot a}+frac{acdot b}{c^2cdot a+c^2cdot b}gefrac{3}{2}
Đọc tiếp
Bài 1: cho \(a,b,c\ge0\) và a+b+c=1. Chứng minh rằng :
a,\(\left(1-a\right)\cdot\left(1-b\right)\cdot\left(1-c\right)\ge8\cdot a\cdot b\cdot c\)
b,\(16\cdot a\cdot b\cdot c\ge a+b\)
c,\(\frac{a}{1+a}+\frac{2\cdot b}{2+b}+\frac{3\cdot c}{3+c}\le\frac{6}{7}\)
Bài 2: cho a,b,c>0 và a.b.c=0 chứng minh rằng:
\(\frac{b\cdot c}{a^2\cdot b+a^2\cdot c}+\frac{a\cdot c}{b^2\cdot c+b^2\cdot a}+\frac{a\cdot b}{c^2\cdot a+c^2\cdot b}\ge\frac{3}{2}\)
Bài 1 :
a) Ta có : \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) , \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) , \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) hay \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge8abc\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a,b khác 0 thỏa mãn a+b
a, \(\frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}=\frac{2\cdot\left(a\cdot b-2\right)}{a^2\cdot b^2+3}\)
b, \(\frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}=\frac{2\cdot\left(b-a\right)}{a^2\cdot b^2+3}\)
Cho a,b khác 0 thỏa mãn a+b=1
a, \(\frac{a}{b^3-1}\)+\(\frac{b}{a^3-1}\)=\(\frac{2\cdot\left(a\cdot b-2\right)}{a^2\cdot b^2+3}\)
b,\(\frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}=\frac{2\cdot\left(b-a\right)}{a^2\cdot b^2+3}\)
Cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=3abc
Tìm GTNN của \(Q=\frac{a^2}{c\cdot\left(c^2+a^2\right)}+\frac{b^2}{a\cdot\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{b\cdot\left(b^2+c^2\right)}\)
\(ab+bc+ca=3abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
\(Q=\frac{a^2+c^2-c^2}{a\left(c^2+a^2\right)}+\frac{b^2+a^2-a^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2+b^2-b^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\)
\(Q=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\left(\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{b}{b^2+c^2}+\frac{c}{c^2+a^2}\right)\)
\(Q\ge3-\left(\frac{a}{2ab}+\frac{b}{2bc}+\frac{c}{2ca}\right)=3-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{3}{2}\)
\(Q_{min}=\frac{3}{2}\) khi \(a=b=c=1\)
1 Cho x;y;z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+xz2xyz. Tìm GTNN củaPfrac{x}{y^2}+frac{y}{z^2}+frac{z}{x^2}+3cdotleft(frac{1}{xy}+frac{1}{yz}+frac{1}{zx}right)2 Cho x;y;z là các số thực dương thỏa mãn: frac{1}{x^2+1}+frac{1}{y^2+1}+frac{1}{z^2+1}1 CMR : x+y+zge2cdotleft(frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z}right)3 Cho a;b;c0 thỏa mãn : a^2+b^2+c^21 Tìm Min của Pfrac{a}{left(1-a^4right)^2}+frac{b}{left(1-b^4right)^2}+frac{c}{left(1-c^4right)^2}Help me. thanks
Đọc tiếp
1 Cho x;y;z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+xz=2xyz. Tìm GTNN của\(P=\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}+3\cdot\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
2 Cho x;y;z là các số thực dương thỏa mãn: \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}=1\) CMR : \(x+y+z\ge2\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
3 Cho \(a;b;c>0\) thỏa mãn : \(a^2+b^2+c^2=1\) Tìm Min của \(P=\frac{a}{\left(1-a^4\right)^2}+\frac{b}{\left(1-b^4\right)^2}+\frac{c}{\left(1-c^4\right)^2}\)
Help me. thanks
