Ta có : \(x^{43}=x^{43}-x^3+x^3=x^3\left(x^{40}-1\right)+x^3\)

Mà \(x^{40}-1=\left(x^4\right)^{10}-1^{10}⋮x^4-1=\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)⋮x^2+1\)

nên  số dư của phép chia x⁴³ cho x² + 1 là x³

2) Ta có đẳng thức sau: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

 Chứng minh thì bạn chỉ cần bung 2 vế ra là được.

 \(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-2abc\)

 Do \(a+b+c⋮4\) nên ta chỉ cần chứng minh \(abc⋮2\) là xong. Thật vậy, nếu cả 3 số a, b,c đều không chia hết cho 2 thì \(a+b+c\) lẻ, vô lí vì \(a+b+c⋮4\). Do đó 1 trong 3 số a, b, c phải chia hết cho 2, suy ra \(abc⋮2\).

 Do đó \(P⋮4\)

Để tìm dư của phép chia đa thức f(x) cho (x^2 + 1)(x - 2), chúng ta cần sử dụng định lý dư của đa thức. Theo định lý dư của đa thức, nếu chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) và được dư đa thức r(x), thì ta có: f(x) = q(x) * g(x) + r(x) Trong trường hợp này, chúng ta biết rằng f(x) chia cho x - 2 dư 7 và chia cho x^2 + 1 dư 3x + 5. Vì vậy, chúng ta có các phương trình sau: f(x) = q(x) * (x - 2) + 7 f(x) = p(x) * (x^2 + 1) + (3x + 5) Để tìm dư của phép chia f(x) cho (x^2 + 1)(x - 2), ta cần tìm giá trị của r(x). Để làm điều này, chúng ta cần giải hệ phương trình trên. Đầu tiên, chúng ta sẽ giải phương trình f(x) = q(x) * (x - 2) + 7 để tìm giá trị của q(x). Sau đó, chúng ta sẽ thay giá trị của q(x) vào phương trình f(x) = p(x) * (x^2 + 1) + (3x + 5) để tìm giá trị của p(x) và r(x). Nhưng trước tiên, chúng ta cần biết đa thức f(x) là gì. Bạn có thể cung cấp thông tin về đa thức f(x) không?

Lời giải:
Gọi đa thức dư khi lấy $f(x)$ chia cho $x^2+x-6$ là $ax+b$ với $a,b\in\mathbb{R}$, $Q(x)$ là đa thức thương.

Theo bài ra ta có:

$f(2)=6067$

$f(-3)=-4043$

$f(x)=(x^2+x-6)Q(x)+ax+b=(x-2)(x+3)Q(x)+ax+b$

Cho $x=2$ thì:

$f(2)=0.Q(2)+2a+b=2a+b$

$\Leftrightarrow 6067=2a+b(1)$

Cho $x=-3$ thì:

$f(-3)=0.Q(-3)-3a+b=-3a+b$

$\Leftrightarrow -4043=-3a+b(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow a=2022; b=2023$

Vậy đa thức dư là $2022x+2023$

chưa chắc bn ơi

Ta cá:2x+2y=2(x+y)

TH1:x+y chẵn ta cá:

Vi x+y chẵn nên x+y chia hết cho 2

\(\Rightarrow x+y=2k\)

\(\Rightarrow2\left(x+y\right)=2\times2\times k=4k⋮4\)

\(\Rightarrow2\left(x+y\right)⋮4\)

\(\Rightarrow2x+2y⋮4\)

Suy ra 2x+2y:4 dư 0

TH2:x+y lẻ

Vi x+y lẻ nen x+y :2 dư 1

\(\Rightarrow x+y=2h+1\)

\(\Rightarrow2\left(x+y\right)=2\left(2h+1\right)=2\times2\times h+2\times1\)

=4h+2:4 dư 2

Suy ra 2(x+y):4 dư 2

Suy ra 2x +2y:4 dư 2

Vậy 2x+2y:4 dư 0 hoặc 2