Ta có \(2^{100}=\left(2^{10}\right)^{10}=1024^{10}>1000^{10}=\left(10^3\right)^{10}=10^{30}\).

Ta chứng minh \(2^{100}< 10^{31}\Leftrightarrow\dfrac{1024^{10}}{1000^{10}}< 10\).

Ta có \(\dfrac{1024^{10}}{1000^{10}}< \dfrac{1025^{10}}{1000^{10}}=\left(\dfrac{41}{40}\right)^{10}\).

Dễ thấy \(\dfrac{41}{40}< \dfrac{40}{39}< ...< \dfrac{32}{31}\Rightarrow\left(\dfrac{41}{40}\right)^{10}< \dfrac{41}{40}.\dfrac{40}{39}...\dfrac{32}{31}=\dfrac{41}{31}< 10\Rightarrow\dfrac{1024^{10}}{1000^{10}}< 10\).

Do đó \(2^{100}\) viết trong hệ thập phân có 31 chữ số.

Ta có:
2^100 = ﴾2^10﴿^10 = 1024^10
10^30 = ﴾10^3﴿^10 = 1000^10
Vì 1024^10 > 1000^10 nên 2^100 > 10^30  ﴾1﴿
Lại có:
2^100 = 2^31.2^63.2^6 = 2^31.512^7.64
và 10^31 = ﴾2.5﴿^31 = 2^31.5^31 = 2^31.5^28.5^3 = 2^31.625^7.125
Vì 2^31.512^7.64 < 2^31.625^7.125 nên 2^100 < 10^31﴾2﴿
Từ ﴾1﴿ và ﴾2﴿ => 2^100 viết trong hệ thập phân có 31 chữ số
Vậy số 2^100 viết trong hệ thập phân có 31 chữ số ﴾đpcm﴿

NHỚ TK MK NHA,MK ĐANG ÂM ĐIỂM

bạn ơi ko hiểu đoạn 2^100=2^31.2^63.2^6 = 2^31.512^7.64

bạn ơi ko hiểu đoạn 2^100 = 2^31,2^63,2^6=2^31.512^7.64

Ta phải chứng minh: 1030 < 2100 < 1031

+ Chứng minh:  \(10^{30}\)< \(2^{100}\)

Ta có: 10\(^{30}\) = (103)\(^{10}\) = 1000\(^{10}\)

2100 = (210)\(^{10}\) = 1024\(^{10}\)

Vì 1000\(^{10}\)< 1024\(^{10}\)=> 10\(^{30}\) < 2\(^{100}\) (1)

+ Chứng minh: 2\(^{100}\)< 10\(^{31}\)

Ta có: 2\(^{100}\)= \(2^{31}.2^{69}=2^{31}.2^{63}.2^6\)= \(2^{31}.\left(2^9\right)^7.64=2^{31}.512^7.64\)

\(10^{31}=2^{31}.5^{31}=2^{31}.5^{28}.5^3=2^{31}.\left(5^4\right)^7.125\)\(=2^{31}.625^7.125\)

Vì \(2^{31}.512^7.64< 2^{31}.625^7.125\)

=> 2\(^{100}\) <\(10^{31}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(10^{30}< 2^{100}< 10^{31}\)

nên trong cách viết ở hệ thập phân số 2 \(^{100}\)có 31 chữ số

10³⁰=(10³)¹⁰=1000¹⁰

2¹⁰⁰=(2¹⁰)¹⁰=1024¹⁰

1000¹⁰<1024¹⁰ => 10³⁰<2¹⁰⁰

2¹⁰⁰=2³¹.2⁶⁹=2³¹.2⁶³.2⁶=2³¹.(2⁹)⁷.64=2³¹.512⁷.64

10³¹=2³¹.5³¹=2³¹.5²⁸.5³=2³¹.125.(5⁴)⁷=2³¹.125.625⁷

=>2¹⁰⁰<10³¹

10³⁰ là số nhỏ nhất có 31 chữ số.

10³¹ là số bé nhất có 32 chữ số.

=> 2¹⁰⁰ có 31 chữ số.

Vậy .......................

 tham khảo:

ta có:
2^100 = ﴾2^10﴿^10 = 1024^10
10^30 = ﴾10^3﴿^10 = 1000^10
Vì 1024^10 > 1000^10 nên 2^100 > 10^30  ﴾1﴿
Lại có:
2^100 = 2^31.2^63.2^6 = 2^31.512^7.64
và 10^31 = ﴾2.5﴿^31 = 2^31.5^31 = 2^31.5^28.5^3 = 2^31.625^7.125
Vì 2^31.512^7.64 < 2^31.625^7.125 nên 2^100 < 10^31﴾2﴿
Từ ﴾1﴿ và ﴾2﴿ => 2^100 viết trong hệ thập phân có 31 chữ số
Vậy số 2^100 viết trong hệ thập phân có 31 chữ số ﴾đpcm

Ta có:

2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰ = 1024¹⁰

10³⁰ = (10³)¹⁰ = 1000¹⁰

Vì 1024¹⁰ > 1000¹⁰ nên 2¹⁰⁰ > 10³⁰ (1)

Lại có:

2¹⁰⁰ = 2³¹.2⁶³.2⁶ = 2³¹.512⁷.64

và 10³¹ = (2.5)³¹ = 2³¹.5³¹ = 2³¹.5²⁸.5³ = 2³¹.625⁷.125

Vì 2³¹.512⁷.64 < 2³¹.625⁷.125 nên 2¹⁰⁰ < 10³¹ (2)

Từ (1) và (2) => 2¹⁰⁰ viết trong hệ thập phân có 31 chữ số

Vậy số 2¹⁰⁰ viết trong hệ thập phân có 31 chữ số (đpcm)

+) 95 < 100 => 95⁸ < 100⁸ = (10²)⁸ = 10¹⁶  (*)

+) Xét tỉ số: \(\frac{95^8}{10^{15}}=\frac{95^8.10}{10^{16}}=\left(\frac{95}{100}\right)^8.10\)

Ta có: \(\left(\frac{95}{100}\right)^8>\left(\frac{90}{100}\right)^8=\left(\frac{9}{10}\right)^8>\frac{9}{10}.\frac{8}{9}.\frac{7}{8}...\frac{2}{3}=\frac{2}{10}>\frac{1}{10}\)

=> \(\frac{95^8}{10^{15}}=\left(\frac{95}{100}\right)^8.10>\frac{1}{10}.10=1\)

=> 95⁸ > 10¹⁵    (**)

(*)(**) =>  10¹⁵ < 95⁸ < 10¹⁶ 

=> 95⁸ là số có 16 chữ số

Em có cách làm khác:

Giải.Số tự nhiên nhỏ nhất có 16 chữ số là 10¹⁵,số tự nhiên nhỏ nhất có 17 chữ số là 10¹⁶.Ta cần chứng minh rằng :

                                                  10¹⁵<95⁸<10¹⁶

Dễ thấy 95⁸<100⁸=10¹⁶,còn phải chứng minh 10¹⁵<98⁵.Bất đẳng thức này tương ứng với\(\frac{10^{15}}{95^8}

cô ơi cah của em có dúng ko?