b: Xét tứ giác MPNQ có

O là trung điểm của MN

O là trung điểm của PQ

Do đó: MPNQ là hình bình hành

Suy ra MQ//PN

a: \(MN=\sqrt{NP^2-MP^2}=8\left(cm\right)\)

nên NQ=4(cm)

b: Xét ΔQMP và ΔQND có 

QM=QN

\(\widehat{MQP}=\widehat{NQD}\)

QP=QD

Do đó; ΔQMP=ΔQND

Suy ra: MP=ND

a) Xét \(\Delta MOQ\) và \(\Delta NOP\) có:

\(OM=ON\)(O là trung điểm MN)

\(\widehat{MOQ}=\widehat{NOP}\) (đối đỉnh)

\(OP=OQ\) (O là trung điểm PQ)

\(\Rightarrow\Delta MOQ=\Delta NOP\left(c.g.c\right)\)

b) Xét \(\Delta MDO\) và \(\Delta NEO\) có:

\(MD=NE\left(gt\right)\)

\(\widehat{DMO}=\widehat{ONE}\left(\Delta MOQ=\Delta NOP\right)\)

\(OM=ON\) (O là trung điểm MN)

\(\Rightarrow\Delta MDO=\Delta NEO\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OD=OE\\\widehat{DOM}=\widehat{EON}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\widehat{DOM}=\widehat{EON}\left(cmt\right)\)

Mà \(\widehat{EON}+\widehat{MOE}=180^0\)(kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{DOM}+\widehat{MOE}=180^0\Rightarrow\widehat{DOE}=180^0\)

\(\Rightarrow D,O,E\) thẳng hàng

Mà \(OD=OE\left(cmt\right)\)

=> O là trung điểm DE

help me............

cho tam giác MNP vuông tại M có MN=4cm;MP=3cm

a)tính đọ dài NP và so sánh các góc của tam giác MNP

b)Trên tia đối tia PM lấy A sao cho P là trung điểm của đoạn thẳng AM.QUa P dựng đường thẳng vuông góc với AM cắt AN tại C.C/m tam giác CPM=tam giác CPA

c)C/m CM=CN

d)GỌi G là giao điểm của MC và NP.TÍnh NG

e)Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với NP tại D.Vẽ tia Nx là tia phân giác của góc MNP,vẽ tia Ay là tian pg của PAD,tia Ay cắt các tia NP,Nx,NM lần lượt tại E,H,K.C/m tam giác NEK cân

a) xét \(\Delta MNP\)VUÔNG TẠI M CÓ

\(\Rightarrow NP^2=MN^2+MP^2\left(PYTAGO\right)\)

THAY\(NP^2=4^2+3^2\)

\(NP^2=16+9\)

\(NP^2=25\)

\(\Rightarrow NP=\sqrt{25}=5\left(cm\right)\)

XÉT \(\Delta MNP\)CÓ

\(\Rightarrow NP>MN>MP\left(5>4>3\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{M}>\widehat{P}>\widehat{N}\)( QUAN HỆ GIỮA CẠNH VÀ GÓC ĐỐI DIỆN)

B) xét \(\Delta\text{ CPM}\)VÀ\(\Delta\text{CPA}\)CÓ

 \(PM=PA\left(GT\right)\)

\(\widehat{MPC}=\widehat{APC}=90^o\)

PC LÀ CAH CHUNG 

=>\(\Delta\text{ CPM}\)=\(\Delta\text{CPA}\)(C-G-C)

c)

\(\Delta CPM=\Delta CPA\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{CMP}=\widehat{CPA}\left(\text{hai góc tương ứng}\right)\)

\(\text{Ta có: }\)\(\widehat{MNA}+\widehat{NAM}=90^o\left(\Delta MNA\perp\text{ tại M}\right)\)

             \(\widehat{NMC}+\widehat{CMP}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MNA}+\widehat{NAM}=\)\(\widehat{NMC}+\widehat{CMP}\)

\(\Rightarrow\widehat{MNA}=\widehat{NMC}\left(\widehat{CMP}=\widehat{NAM}\right)\)

\(Hay:\)\(\widehat{MNC}=\widehat{NMC}\)

\(\Rightarrow\Delta NMC\text{ cân}\)

\(\Rightarrow CN=CM\left(đpcm\right)\)

d)\(\Delta AMC\)CÂN\(\Rightarrow AC=MC\)

    \(\Delta MCN\)CÂN\(\Rightarrow MC=CN\)

=> AC=CN 

=> AC LÀ TRUNG TUYẾN CỦA \(\Delta MAN\)

MÀ MP=AP => NP LÀ TRUNG TUYẾN CỦA\(\Delta MAN\)

HAI ĐƯOG TRUNG TUYẾN NÀY CẮT NHAU TẠI G 

=> G LÀ TROG TÂM CỦA \(\Delta MAN\)

\(\Rightarrow NG=\frac{2}{3}NP\)

THAY \(\Rightarrow NG=\frac{2}{3}.5=\frac{10}{3}\approx3,3\left(cm\right)\)