a: Xét ΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{60}{13}\left(cm\right)\)

b: Xét ΔABH vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔACH vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

a) Ta có: \(5^2+12^2=169\)

               \(13^2=169\)

suy ra:  \(5^2+12^2=13^2\)

Vậy tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

  \(AB.AC=AH.BC\)

\(\Leftrightarrow\)\(AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{5.12}{13}=\frac{60}{13}\)

b)  Áp dụng hệ thức lượng ta có:  

\(AH^2=AE.AB\)

\(AH^2=AF.AC\)

suy ra:  \(AE.AB=AF.AC\)

c)  \(AE.AB=AF.AC\) \(\Rightarrow\)\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)

Xét  \(\Delta AEF\)và  \(\Delta ACB\)ta có:

\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)

góc A  chung

suy ra:  \(\Delta AEF~\Delta ACB\)(c.g.c)

Với bài toán này, ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác.

a. Kiểm tra thấy \(AB^2+AC^2=BC^2\) nên tam giác ABC vuông tại A.

\(AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{60}{13}\)

b. Áp dụng hệ thức lượng, ta thấy \(AB.EA=AH^2=AF.AC\)

c. Từ kết quả câu b và góc A vuông ta suy ra được \(\Delta AEF\sim\Delta ACB\left(c-g-c\right)\).

Ap dung dinh ly pitago dao vao tam giac ABC ta co AB²+AC²=5²+12²=169=13² . ma BC²=13²=>AB²+AC²⁼BC²=>Tam giac ABC vuong tai AKe duong cao AH .Ap dung ti so luong giac vao tam giac vuong ABC ta co \(\frac{1}{AH^2}\)= \(\frac{1}{AB^2}\)+ \(\frac{1}{AC^2}\)=>\(\frac{1}{AH^2}\)= \(\frac{1}{5^2}\)+ \(\frac{1}{12^2}\)=>AH=\(\frac{60}{13}\)

3.Tu HE vuong goc voi AB , HF vuong goc voi AC =>HEA =90⁰ , HFA =90⁰ va BAC =90⁰=>tu giac EHFA la hinh chu nhat =>goc AEF=EAH ma EAH=ACH vi cung phu voi goc HAC =>Ta chung minh duoc EAF ~ ABC                                                                     2.=>\(\frac{AB}{AF}\)= \(\frac{AC}{AE}\)=>AB\(\times\)AE = AF\(\times\)AC

a, Xét △ ABC vuông tại A có: 

BC² = AC² + AB² (định lý Pytago)

=> BC² = 6² + 8² = 100

=> BC = 10 cm

Vì AD là phân giác \(\widehat{BAC}\) (gt)

\(\Rightarrow\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{AB}=\frac{CD+BD}{AC+AB}=\frac{BC}{6+8}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}\)(áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau)

Do đó: \(\frac{CD}{AC}=\frac{5}{7}\) \(\Rightarrow\frac{CD}{6}=\frac{5}{7}\) \(\Rightarrow CD=\frac{6.5}{7}=\frac{30}{7}\)(cm)

\(\frac{BD}{AB}=\frac{5}{7}\)\(\Rightarrow\frac{BD}{8}=\frac{5}{7}\)\(\Rightarrow BD=\frac{8.5}{7}=\frac{40}{7}\)(cm)

b, Xét △AHB vuông tại H và △AEH vuông tại E

Có: \(\widehat{HAB}\)là góc chung

=> △AHB ᔕ △AEH (g.g)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AE}=\frac{AB}{AH}\)

=> AH . AH = AE . AB

=> AH² = AE . AB

c, Xét △AHC vuông tại H và △AFH vuông tại F

Có: \(\widehat{HAC}\)là góc chung

=> △AHC ᔕ △AFH (g.g)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AF}=\frac{AC}{AH}\)

=> AH² = AF . AC

mà AH² = AE . AB (cmt)

=> AE . AB = AF . AC

b: Xét ΔHBA vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔACH vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)