Lời giải:

ĐK: $3m+1\neq 0$

Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của $(d)$ với $Ox,Oy$

Vì $A\in Ox$ nên $y_A=0$

$y_A=(3m+1)x_A-6m-1=0$

$\Rightarrow x_A=\frac{6m+1}{3m+1}$

Vậy $A(\frac{6m+1}{3m+1},0)$

Tương tự: $B(0, -6m-1)$

Gọi $h$ là khoảng cách từ $O$ đến $(d)$

Khi đó, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}$

$=\frac{1}{|x_A|^2}+\frac{1}{|y_B|^2}$

$=\frac{(3m+1)^2}{(6m+1)^2}+\frac{1}{(6m+1)^2}$
$=\frac{(3m+1)^2+1}{(6m+1)^2}$

Để $h$ max thì $\frac{1}{h^2}$ min 

Hay $\frac{(3m+1)^2+1}{(6m+1)^2}$ min

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$[(3m+1)^2+1][2^2+(-1)^2]\geq [2(3m+1)+(-1)]^2=(6m+1)^2$
$\Rightarrow 5[(3m+1)^2+1]\geq (6m+1)^2$

$\Rightarrow \frac{1}{h^2}\geq \frac{1}{5}$

Giá trị này đạt tại $\frac{3m+1}{2}=\frac{1}{-1}$

$\Leftrightarrow m=-1$

a) Tìm giá trị của m biết đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 2).
2= (3m – 2).1 + m – 2
2=3m -2 +m -2
2=4m -4
6=4m
m =3/2

b) Đường thẳng (d) cắt Ox tại A, Oy tại B. Tìm m để diện tích ∆OAB bằng ½.
m <>2/3 ;2
A={(m-2)/(3m-2);0)
B={0;(m-2) )

diện tích ∆OAB =1/2 OA.OB
=> OA.OB=1
<=>(m-2)/(3m-2).(m-2) =±1
<=>(m-2)^2 =±(3m-2)
<=>(m^2-4m+4) =±(3m-2)
m^2 -7m +6 =0 => m={ 1; 6}
m^2 -m +2 =0 (vn)
m ={1;6 }

Cho x = 0 => y = m - 2 

=> d cắt trục Oy tại B(0;m-2) => OB = | m - 2 | 

Cho y = 0 => x = \(\frac{2-m}{3m-2}\)

=> d cắt trục Ox tại A(\(\frac{2-m}{3m-2}\);0) => \(OA=\left|\frac{2-m}{3m-2}\right|\)

Ta có : \(S_{OAB}=\frac{1}{2}.OA.OB=\frac{1}{2}\left|\frac{\left(m-2\right)\left(2-m\right)}{3m-2}\right|=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left|\frac{-m^2-4+4m}{3m-2}\right|=1\)ĐK : \(\frac{-m^2-4+4m}{3m-2}\ge0\Leftrightarrow\frac{-\left(m-2\right)^2}{3m-2}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(m-2\right)^2}{3m-2}\le0\)

\(\Rightarrow3m-2< 0\Leftrightarrow m< \frac{2}{3}\)

TH1 : \(\frac{-m^2-4+4m}{3m-2}=1\Leftrightarrow-m^2-4+4m=3m-2\)

\(\Leftrightarrow m^2-m+2=0\Leftrightarrow\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{4}>0\)vậy pt vô nghiệm 

TH2 : \(\frac{-m^2+4m-4}{3m-2}=-1\Leftrightarrow-m^2+4m-4=2-3m\)

\(\Leftrightarrow m^2-7m+6=0\Leftrightarrow m=1;m=6\)(ktmđk)

Vậy ko có giá trị m để S_OAB = 1/2 

Để d song song với trục tung thì m − 2 ≠ 0 3 m − 1 = 0 6 m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 m = 1 3 m ≠ − 1 3 ⇔ m = 1 3

Vậy  m = 1 3

Đáp án: A

Để d song song với trục hoành thì m = 2 ≠ 0 3 m − 1 ≠ 0 6 m − 2 ≠ 0 ⇔ m = 2 m ≠ 1 3 ⇔  m = 2

Vậy m = 2

Đáp án: B

Để d đi qua gốc tọa độ thì (m – 2)0 + (3m – 1)0 = 6m – 2  ⇔ m = 1 3

Vậy  m = 1 3

Đáp án: A

Đáp án C

Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số  ⇒ f ( x ) = 3 m  có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  3 m ≤ − 3 ⇔ m ≤ − 1