a) Ta có: MB và MC là 2 tiếp tuyến kẻ từ M tới đường tròn (O) => MB = MC và MO là phân giác ^BMC

Xét \(\Delta\)BCM cân tại M có đường phân giác MO => MO vuông góc BC tại H

=> ^OHK = 90⁰ => \(\Delta\)OHK ~ \(\Delta\)OAM (g.g) => \(\frac{OH}{OA}=\frac{OK}{OM}\Rightarrow OA.OK=OH.OM\)

Xét \(\Delta\)MBO có ^MBO = 90⁰ và BH vuông góc MO tại H 

\(\Rightarrow OH.OM=OB^2=R^2\) (Hệ thức lượng trg tam giác vuông)

\(\Rightarrow OA.OK=R^2\) => OA.OK có giá trị ko đổi (đpcm).

\(\Leftrightarrow OK=\frac{R^2}{OA}\). Mà R² và OA có độ dài ko đổi => OK có độ dài ko đổi.

Do K nằm trên OA cố định và OK ko đổi nên điểm K cố định. 

=> BC luôn đi qua điểm K cố định (vì BC cắt OA tại K) (đpcm).

b) Ta thấy: ^OHK = 90⁰ và OK không đổi (cmt)=> Điểm H di động trên 1 đường tròn cố đinh có đường kính OK.

c)  Tứ giác MBOC có 2 đường chéo vuông góc với nhau nên \(S_{MBOC}=\frac{OM.BC}{2}\)

Ta có: \(OM\ge OA\)(Quan hệ đg xiên hình chiếu) \(\Rightarrow S_{MBOC}\ge\frac{OA.BC}{2}=R.BC\)(1)

Khi đó thì BC vuông góc OA  => H trùng K => BC = 2.BK

Lại có: \(OK=\frac{R^2}{OA}=\frac{R^2}{2R}=\frac{R}{2}\). Áp dụng ĐL Pytago cho \(\Delta\)BKO:

\(\Rightarrow BK^2=OB^2-OK^2=R^2-\frac{R^2}{4}=\frac{3R^2}{4}\Leftrightarrow BK=\frac{\sqrt{3}.R}{2}\)

\(\Rightarrow BC=2.BK=\sqrt{3}.R\)(2) 

Thế (2) vào (1) ta có: \(S_{MBOC}\ge\)\(\sqrt{3}.R.R=R^2\sqrt{3}\)

Vậy \(S_{MBOC}\)nhỏ nhất <=> Điểm M trùng với điểm A và \(Min_{S_{MBOC}}=R^2\sqrt{3}.\)

Bạn học trường THCS Ba Mỹ phải không?

Mình trường THCS Phú Ngãi?

Hình bạn tự vẽ

a) Ta có  \(\Delta BOM=\Delta COM\left(ch-cgv\right)\)

=> \(\widehat{BOM}=\widehat{COM}\) 

=> \(OH\perp BC\)(\(\Delta BOC\text{ cân ; }OH\text{ phân giác}\) )(1)

mà B thuộc(O) đường kính IC

=> \(\widehat{IBC}=90^{\text{o}}\)(2) 

Từ (1)(2) => OHBI hình thang 

Xét tam giác OCA ; đường cao HC

Ta có OH.OM = OC² 

mà \(\Delta HOK\sim\Delta AOM\left(g-g\right)\)

=> \(\dfrac{OH}{OA}=\dfrac{OK}{OM}\Rightarrow OH.OM=OA.OK=OC^2=R^2\)

=> OA.OK không đổi 

a ta có \(\Delta\)OHK đồng dạng \(\Delta\)OAM \(\Rightarrow\)\(\frac{OK}{OM}\)=\(\frac{OH}{OA}\)\(\Rightarrow\)OK.OA=OH.OM

OM\(\perp\)BC\(\Leftrightarrow\)OC=OB NÊN O\(\in\)Đường trung trực của BC

MC=MB\(\Leftrightarrow\)M\(\in\)Đường trung trực của BC \(\Rightarrow\)OM\(\perp\)BC

XÉT \(\Delta\)OCM vuông tại C CH\(\perp\)OM\(\Rightarrow\)OC²=OH.OM \(\Rightarrow\)OK.OA ko đổi

a, tam giác 0HK đồng dạng với 0AM

0K/0M = 0H / 0A

nên 0K .0A = 0H.0M

em chúng minh 0M vuông góc với BC

0C = 0B nên 0 thuộc đường trung trực của BC
MC = MB nên M thuộc trung trực của BC
nên 0M là trung trực của BC
nên 0M vuông góc với BC tại H

tam giác 0CM vuông tại C , CH vuông góc với 0M

nên 0C^2 = 0H, 0M

nên không đổi nhé

Em chứng minh K không đổi đi

Theo câu a thầy chứng minh bên trên thì có:

OA.OK=OH.OM=OB^2=R^2

=>OA.OK=R^2=>OK=R^2/OA

Gọi I là trung điểm OK

tam giác OHK vuông tại H nên ta có:IH=1/2OK=R^2/2OA

mà O,A không đổi nên OA không đổi

=>IH không đổi

Hay H thuộc đường tròn tâm I bán kính R^2/2OA

với I là điểm nằm giữa O và A thỏa mãn OI=1/2OK=R^2/2OA

(đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng OA và đi qua O bán kính R^2/2OA

Câu c em làm như sau nhé

Diện tích tứ giác MBOC=OM.HC

nên để diện tích tứ giác MBOC min thì OM.HC Min

Xét:OM^2.HC^2=OM^2.(OC^2-OH^2)=OM^2.OC^2-OM^2.OH^2=OM^2.R^2-R^4 (Do OM.OH=R^2)

=>Để OM,HC min thì OM^2.R^2 min hay OM^2 Min

mà OM>=OA (do OM là cạnh huyền của tam giác vuông OAM)

=>OM min <=>OM=OA hay M trùng với A

Khi đó OM^2.HC^2=(2R)^2.R^2-R^4=3R^4

=>Diện tích tứ giác MBOC Min=căn 3 R^2 <=>M trùng với A

b: Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

CB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại A

=>CA\(\perp\)AB tại A

=>CA\(\perp\)BE tại A

Ta có: \(\widehat{OAE}=\widehat{OAC}+\widehat{EAC}=\widehat{OAC}+90^0\)

\(\widehat{MAC}=\widehat{MAO}+\widehat{OAC}=\widehat{OAC}+90^0\)

Do đó: \(\widehat{OAE}=\widehat{MAC}\)

Xét tứ giác CKAE có \(\widehat{CKE}=\widehat{CAE}=90^0\)

nên CKAE là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{ACK}=\widehat{AEK}\)

=>\(\widehat{ACM}=\widehat{AEO}\)

Xét ΔAMC và ΔAOE có

\(\widehat{ACM}=\widehat{AEO}\)

\(\widehat{MAC}=\widehat{OAE}\)

Do đó: ΔAMC đồng dạng với ΔAOE

=>\(\dfrac{AM}{AO}=\dfrac{AC}{AE}\)

=>\(AM\cdot AE=AO\cdot AC\)