a)

Xét 2 tg ABD và ACD, có

   AD cạnh chung

AB=AC (tgABC cân tại A)

góc BAD = góc CAD

=> tg ABD=tg ACD

b)

Trong tgABC, G là trọng tâm và AD là đường phân giác.

Mà trong 1 tg cân đường phân giác trùng lên đường trung tuyến.

Mặt khác thì trọng tâm nằm trên đường trung tuyến.

=> 3 điểm A,D,G nắm trên cùng 1 đoạn thẳng

Hay: 3 điểm A,D,G thẳng hàng

c)

Trong tg cân ABC, có đường phân giác AD

=> AD trùng lên đường trung trực xuất phát từ A

=> AD>AB ( tính chất đường vuông góc với đường xiên)

d)

Ta có: tg ABD vuông tại D (AD là đường trung trực)

=> AD^2 +DB^2 = AB^2 (định lí Py-ta-go)

=>AD^2 +5^2= 13^2  (DB^2=5^2 vì DB=DC=10/2=5)

=>AD^2=13^2-5^2=144=12^2

=> AD=12 (cm)

Mà AG là trọng tâm

=>AG=2/3 AD=8 cm

- Dựng hình bình hành ABB'G và ACC'G. Khi đó ta có: \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}\)

. Suy ra \(^T\overrightarrow{AG}\left(A\right)=G,^T\overrightarrow{AG}\left(B\right)=B',^T\overrightarrow{AG}\left(C\right)=C'\)

Do đó ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{AG}\) là tam giác GB'C'.

- Trên tia GA lấy điểm D sao cho A là trung điểm của GD. Khi đó ta có \(\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AG}\). Do đó, \(^T\overrightarrow{AG}\left(D\right)=A\).

- Dựng hình bình hành ABB'G và ACC'G. Khi đó ta có:

. Suy ra

Do đó ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ là tam giác GB'C'.

- Trên tia GA lấy điểm D sao cho A là trung điểm của GD. Khi đó ta có . Do đó, .

Câu 4:

Áp dụng định lý Pytago

\(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow BC=2\)

Ta có:

\(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=-\dfrac{CA^2+CB^2-AB^2}{2}=-\dfrac{2+4-2}{2}=-2\)

Câu 5:

Gọi M là trung điểm BC

\(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

Mà: \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

Câu 6:

\(\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|=3\)

\(a^2+b^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=9\)

\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\dfrac{1^2+2^2-9}{2}=-2\)

Câu 7: 

\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}\right|\)

                              \(=\left|\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=BC=a\)