Bài 1:

$A=(9x^2-5x)+(5y^2+3y)$

$=[(3x)^2-2.3x.\frac{5}{6}+(\frac{5}{6})^2]+5(y^2+\frac{3}{5}y+\frac{3^2}{10^2})-\frac{103}{90}$

$=(3x-\frac{5}{6})^2+5(y+\frac{3}{10})^2-\frac{103}{90}$

$\geq \frac{-103}{90}$

Vậy $A_{\min}=\frac{-103}{90}$. Giá trị này đạt tại $3x-\frac{5}{6}=y+\frac{3}{10}=0$

$\Leftrightarrow (x,y)=(\frac{5}{18}, \frac{-3}{10})$

Bài 2:

a. 

$-A=4x^2+5y^2-8xy-10y-12$

$=(4x^2-8xy+4y^2)+(y^2-10y+25)-37$

$=(2x-2y)^2+(y-5)^2-37\geq -37$

$\Rightarrow A\leq 37$

Vậy $A_{\max}=37$. Giá trị này đạt tại $2x-2y=y-5=0$

$\Leftrightarrow x=y=5$

b.

$-B=3x^2+16y^2+8xy+5x-2$

$=(x^2+16y^2+8xy)+2(x^2+\frac{5}{2}x+\frac{5^2}{4^2})-\frac{41}{8}$

$=(x+4y)^2+2(x+\frac{5}{4})^2-\frac{41}{8}$

$\geq \frac{-41}{8}$

$\Rightarrow B\leq \frac{41}{8}$
Vậy $B_{\max}=\frac{41}{8}$. Giá trị này đạt tại $x+4y=x+\frac{5}{4}=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{-5}{4}; y=\frac{5}{16}$

\(A=3x^2-8xy+9y^2\)

\(B=-2x^2+8xy-5y^2\)

\(A+B=\left(3x^2-8xy+9y^2\right)+\left(-2x^2+8xy-5y^2\right)\)

\(=x^2+4y^2\ge0\)

suy ra đpcm. 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)\left(3x-5y\right)=0\\2x+7y=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\2x+7y=5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}3x-5y=0\\2x+7y=5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{5}{9}\\y=\frac{5}{9}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{25}{31}\\x=\frac{15}{31}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

b) 5x² +5y² +8xy + 2x-2y+2 = 0

(x² +2x+1) + (y² -2y+1) + (4x² +8xy + 4y²) = 0

(x+1)² + (y-1)² +(2x+2y)² = 0

=> (x+1)² = 0 => x = -1

(y-1)² = 0 => y = 1

(2x+2y)² = 0

KL: x = -1; y = 1

a) 3x² +5y² = 345 

=> x² chia hết cho 5

=> x chia hết cho 5

đặt x = 5t=> 75t²+5y² =345⇒15t²+y² =69⇒y chia hết cho 3

đặt y = 3z => 15t²+9z² =69

⇒5t² +3z² =23

...

\(A=-4x^2-5y^2+8xy+10y+12\)

\(-A=4x^2+5y^2-8xy-10y-12\)

\(-A=\left(4x^2-8xy+y^2\right)+\left(4y^2-10y+\frac{25}{4}\right)-\frac{73}{4}\)

\(-A=\left(2x-y\right)^2+\left(2y-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{73}{4}\)

Mà : \(\left(2x-y\right)^2\ge0\forall x;y\)

         \(\left(2y-\frac{5}{2}\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow-A\ge-\frac{73}{4}\)

\(\Leftrightarrow A\le\frac{73}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi :

\(\hept{\begin{cases}2x-y=0\\2y-\frac{5}{2}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{5}{8}\\y=\frac{5}{4}\end{cases}}\)

Vậy \(A_{Max}=\frac{73}{4}\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(\frac{5}{8};\frac{5}{4}\right)\)

3x+5y+8xy=16\(\Rightarrow\)24x+40y+64xy=128\(\Rightarrow\)(24x+64xy)+(40y+15)=128+15\(\Rightarrow\)8x(3+8y)+5(8y+3)=143\(\Rightarrow\)(8y+3)(8x+5)=143

Với x,y nguyên thì 8y+3,8x+5 chia 8 du 3 ,5 mà 143=1.143=(-1)(-143)=11.13=(-11)(-13) ta có 2 th:

+ 8y+3=11và 8x+5=13\(\Rightarrow\)y=1 và x=1

+ 8y+3=-13và 8x+5=-11\(\Rightarrow\)y=-2 và x=-2