dự đoán của Thần thánh

\(\frac{ab}{a^2+b^2}=\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}\)

\(VT=\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)

\(p=\frac{ab}{a^2+b^2}+....+\frac{ca}{c^2+a^2};A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\right)\)

áp dụng BDT cô si ta có

\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{\left(a^2+b^2\right)}{\frac{4}{9}}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\frac{4}{9}}}=\frac{2}{\frac{2}{3}}\sqrt{ab}=3\sqrt{ab}\)

tương tự với các BDT còn lại suy ra

\(p+\frac{9}{4}\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)

\(P+\frac{9}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

áp dụng BDT cô si ta có

\(a^2+\frac{1}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{9}}=\frac{2a}{3}\)

tương tự với b^2+c^2 ta được

\(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\) 

" thay 1/3 vào ta được

\(p+\frac{3}{2}\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

áp dụng BDT cô si dạng " Rei " " luôn đúng với những bài ngược dấu "

\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\sqrt[3]{abc}\)

mà \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) 

thay a+b+c=1 vào ta được

\(P+\frac{3}{2}\ge3\Leftrightarrow P\ge\frac{6}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) " 1 "

bây giờ tính nốt con \(A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

áp dụng BDT \(\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{1}{a+b+c}\)

\(A=\frac{9}{4}.\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{9}{4}\left(\frac{1}{a+b+c}\right)\)

mà a+b+C=1 suy ra

\(A\ge\frac{9}{4}\) "2"

từ 1 và 2 suy ra

\(VT=P+A\ge\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)

" đúng với dự đoán của thần thánh "

a) a² = bc

\(\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{a}=\frac{a+b}{c+a}=\frac{a-b}{c-a}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\)

b) a² = bc

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a}{b}.\frac{c}{a}=\frac{c}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}=\frac{c}{b}\)

\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\Rightarrow\frac{a+b}{c+a}=\frac{a-b}{c-a}=\frac{\left(a+b\right)-\left(a-b\right)}{\left(c+a\right)-\left(c-a\right)}=\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+a}=\frac{b}{a}=\frac{a+b-b}{c+a-a}=\frac{a}{c}\Rightarrow\frac{b}{a}=\frac{a}{c}\Rightarrow a^2=bc\)

\(x.y=12\Rightarrow y=\frac{12}{x}\) thay vào pt ta có : 

\(\frac{x}{3}=\frac{12}{\frac{x}{4}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{3}=\frac{3}{x}\) \(\Leftrightarrow x^2=9\) \(\Rightarrow Th1:x=3\Rightarrow y=4\)

\(Th2:x=-3\Rightarrow y=-4\)

đặt \(\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=k\Rightarrow x=3k,y=4k\)

ta có:

\(x.y=3k.4k=12.k^2=12\Rightarrow k^2=1\Rightarrow\orbr{\begin{cases}k=1\\k=-1\end{cases}}\)

\(k=1\Rightarrow x=3.1=3,y=4.1=4\)

\(k=\left(-1\right)\Rightarrow x=3.\left(-1\right)=-3,y=4.\left(-1\right)=-4\)

vậy x=3,y=4 hay x=-3, y=-4

2.\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}\)

áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\left(1\right)\)

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{a}{c}\cdot\frac{a}{c}=\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{d}=\frac{ab}{cd}\left(2\right)\)

từ (1) và (2) => \(\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{ab}{cd}\left(đpcm\right)\)

Ta có:\(a^2=b.c\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{a}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{a^2}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2+a^2}=\frac{a^2-b^2}{c^2-a^2}\)

Vì \(\frac{a^2+b^2}{c^2+a^2}=\frac{a^2-b^2}{c^2-a^2}\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=\frac{c^2+a^2}{c^2-a^2}\)

thay \(a^2=b.c\)vào biểu thức, ta có:

\(\frac{b.c+c^2}{b^2+b.c}=\frac{c.\left(c+b\right)}{b.\left(b+c\right)}=\frac{c}{b}\)

Ta có : 

\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a+b}{c+a}=\frac{a-b}{c-a}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 

\(\frac{a+b}{c+a}=\frac{a-b}{c-a}=\frac{a+b+a-b}{c+a+c-a}=\frac{a+a}{c+c}=\frac{2a}{2c}=\frac{a}{c}\) \(\left(1\right)\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta lại có : 

\(\frac{a+b}{c+a}=\frac{a-b}{c-a}=\frac{a+b-a+b}{c+a-c+a}=\frac{b+b}{a+a}=\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}\) \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra : 

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{a}\)\(\Rightarrow\)\(a.a=b.c\)\(\Rightarrow\)\(a^2=bc\)

Vậy từ \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\) suy ra \(a^2=bc\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Có a+b/a-b = c+a/c-a

hay: (a+b) (c -a) = ( c + a)(a - b)

        ac - a^2 + bc - ab = ac - bc + a^2 - ab

<=>             2bc            =          2a^2

  =>               bc            =           a^2