Cho tam giác ABC qua 1 điểm O tùy ý trong tam giác ta kẻ đường thẳng AO, BO, CO cắt BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. chứng minh rằng: \(\frac{OE}{AE}+\frac{OD}{BD}+\frac{OF}{CF}=1\)
Cho tam giác ABC. Qua điểm O tùy ý trong tam giác ta kẻ các đường thẳng AO, BO, CO cắt BC, CA, AB lần lượt tại A1, B1, C1. Chứng minh hệ thức: \(\frac{OA_1}{AA_1}+\frac{OB_1}{BB_1}+\frac{OC_1}{CC_1}=1\).
từ 0 hạ các dduownmgf vuông góc
sử dụng ta let + S tam giác để tính thôi bạn
Cho tam giác ABC. O là một điểm bất kì trong tam giác, các đường thẳng AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại D, E, F.
a) Chứng minh rằng : \(\frac{OA}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=1\)
b) Tính : \(\frac{OA}{AD}+\frac{OB}{BE}+\frac{OC}{CF}\)
c) Chứng minh rằng : \(\frac{AF}{BF}+\frac{AE}{CE}=\frac{OA}{OD}\)
d) Chứng minh rằng : \(\frac{OA}{OD}+\frac{OB}{OE}+\frac{OC}{OF}\ge6\)
GIÚP MÌNH VỚI M.N
1, Cho (O;R) đường kính BC = 2R, \(A\in\left(O\right)\). Kẻ OE vuông góc AB, OF vuông góc AC. Chứng minh rằng: \(3R< BE+CF< 4R\)
2. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R). Kẻ các tia AO, BO, CO cắt BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}< \frac{3}{R}\)
Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. AO, BO, CO cắt BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng qua O song song với BC cắt DE, DF lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng OM = ON
Cho tam giác ABC, gọi O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Các đường thẳng AO, BO, CO lần lượt cắt các cạnh BC. CA, AB tại D, E, F. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =\(\sqrt{\frac{OA}{OD}}\)+\(\sqrt{\frac{OB}{OE}}\)+\(\sqrt{\frac{OC}{OF}}\)
Đặt \(S_{BOC}=x^2,S_{AOC}=y^2,S_{AOB}=z^2\) \(\Rightarrow S_{ABC}=S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}=x^2+y^2+z^2\)
Ta có : \(\frac{AD}{OD}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}=\frac{AO+OD}{OD}=1+\frac{AO}{OD}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2}=1+\frac{y^2+z^2}{x^2}\)
\(\Rightarrow\frac{AO}{OD}=\frac{y^2+z^2}{x^2}\Rightarrow\sqrt{\frac{AO}{OD}}=\sqrt{\frac{y^2+z^2}{x^2}}=\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}\)
Tương tự ta có \(\sqrt{\frac{OB}{OE}}=\sqrt{\frac{x^2+z^2}{y^2}}=\frac{\sqrt{x^2+z^2}}{y};\sqrt{\frac{OC}{OF}}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{z^2}}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\)
\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}+\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}+\frac{\sqrt{x^2+z^2}}{y}\ge\frac{x+y}{\sqrt{2}z}+\frac{y+z}{\sqrt{2}x}+\frac{x+z}{\sqrt{2}y}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2+2+2\right)=3\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Rightarrow S_{BOC}=S_{AOC}=S_{AOB}=\frac{1}{3}S_{ABC}\)
\(\Rightarrow\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OC}=\frac{1}{3}\Rightarrow\)O là trọng tâm của tam giác ABC
Vậy \(MinP=3\sqrt{2}\) khi O là trọng tâm của tam giác ABC
(04/10) Bài này khá hay
Cho \(\Delta ABC\), điểm O bất kì nằm trong tam giác. \(AO,BO,CO\)lần lượt cắt \(BC,CA,AB\)tại \(D,E,F\). Chứng minh rằng:
a) \(\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=1\)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left(1+\frac{AD}{OD}\right)\left(1+\frac{BE}{OE}\right)\left(1+\frac{CF}{OF}\right)\)
a)
Ta có: \(\frac{OD}{AD}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}};\frac{OE}{BE}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}};\frac{OF}{CF}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)\(\Rightarrow\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=\frac{S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\left(ĐPCM\right)\)
b) chịu
b) Gợi ý nhỏ: Min=64
a) Ta có: \(\frac{OD}{AD}=\frac{S_{BOD}}{S_{ABD}}=\frac{S_{DOC}}{S_{ACD}}=\frac{S_{BOD}+S_{BOC}}{S_{ABD}+S_{ACD}}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}\)
Tương tự ta có: \(\frac{OE}{BE}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}};\frac{OF}{CF}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=\frac{S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{ S_{ABC}}=1\)(Do O nằm trong tam giác nên \(S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}=S_{ABC}\))
b) Ta có: \(\frac{AD}{OD}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}\) ;\(\frac{BE}{OE}=\frac{S_{ABC}}{S_{AOC}};\frac{CF}{OF}=\frac{S_{ABC}}{S_{AOB}}\)
Đặt \(S_{BOC}=a;S_{AOC}=b;S_{AOB}=c;S_{ABC}=1\)thì a + b + c = 1
Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=1+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)\(+\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+\frac{1}{abc}\ge1+\frac{9}{a+b+c}+\frac{27}{\left(a+b+c\right)^2}\)\(+\frac{27}{\left(a+b+c\right)^3}=64\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/3 hay O là trọng tâm của tam giác ABC
Cho tam giác ABC . Kẻ đường thẳng d không đi qua bất kì đỉnh nào của tam giác và cắt BC, CA , AB lần lượt tại D,E và F . Chứng minh rằng : \(\frac{AE}{CE}=\frac{CD}{BD}=\frac{BF}{AF}\)\(=1\)
cho tam giác ABC có điểm O bên trong tam giác. AO cắt BC tại A1. BD cắt CA tại B1 và CO cắt AB tại C1. kẻ OD//AB ( D thuộc BC ) và kẻ OE//AC ( E thuộc BC ), c/m
a) \(\frac{OA_1}{AA_1}+\frac{OB_1}{BB_1}+\frac{OC_1}{CC_1}=1\)
b) \(\frac{AO}{AA_1}+\frac{BO}{BB_1}+\frac{CO}{CC_1}=2\)
MN ƠI GIÚP MIK VS MIK CẦN GẤP!!!
Giúp mình !!!!!!!!
1. Tam giác ABC với D,E,F lần lượt thuộc cạnh BC,CA,AB sao cho AD,BE,CF đồng quy tại M. chứng minh \(\frac{DM}{AD}+\frac{FM}{CF}+\frac{EM}{BE}=1\)
2. Tam giác ABC với M tùy ý nằm trong tam giác. Đường thẳng đi qua M và trọng tâm G của tam giác cắt BC,CA,AB lần lượt tại A',B',C'. chứng minh: \(\frac{MA'}{GA'}+\frac{MB'}{GB'}+\frac{MC'}{GC'}=3\)
3. Tam giác nhọn ABC, phân giác AD. M,N lần lượt là hình chiếu của D trên AC,AB, P là giao điểm BM, CN. chứng minh AP vuông góc BC