a)

Ta có M nằm trên đường trung trực của AB nên MA=MB.

Vì M nằm trên đoạn NB nên:

    NB=NM+MB hay NB=NM+MA (vì MB=MA)

Vậy NB=NM+MA

Trong ΔNMA có: NA<NM+MA

Vì NM+MA=NB nên NA<NB (đpcm) 

b) 

Nối N′A cắt d tại P. Vì P nằm trên đường trung trực của đoạn AB nên: PA=PB

Ta có: N′A=N′P+PA=N′P+PB

Trong ΔN′PB ta có: N′B<N′P+PB

Do đó: N′B<N′A(đpcm)

c)

Vì LA<LB nên L không thuộc đường trung trực d.

Từ câu b) ta suy ra với điểm N′bất kì thuộc PB thì ta có N′B<N′A. Do đó, để LA<LB thì L không thuộc PB.

Từ câu a) ta suy ra với điểm N bất kì thuộc PA thì ta có NA<NB. Do đó, để LA<LB thì Lthuộc PA.

Gọi AN’ cắt d tại K.

K thuộc đường trung trực của AB nên KA = KB.

Trong tam giác N’KB có: N’B < KN’ + KB (bất đẳng thức tam giác).

⇒ N’B < KN’ + KA (vì KA = KB) hay N’B < N’A.

Hướng dẫn làm bài:

a) Vì M nằm trên d, d là trung trực của AB nên MA = MB (1)

Vì nên đoạn thẳng NB cắt d tại M suy ra M nằm giữa N và B.

Hay NM + MB = NB (2)

Từ (1) và (2) => NB = MA + NM

b) Gọi AN’ cắt d tại I

Trong tam giác N’IB có : N’B < IN’ + IB

Mà IA = IB (I thuộc trung trực của AB)

=> N’B < IN’ + NA => N’B < AN’

c) Vì LA < LB nên L không thuộc d, theo chứng minh câu b suy ra L thuộc P_A.

a) Vì M nằm trên d, d là trung trực của AB nên MA = MB (1)

Vì nên đoạn thẳng NB cắt d tại M suy ra M nằm giữa N và B.

Hay NM + MB = NB (2)

Từ (1) và (2) => NB = MA + NM

b) Gọi AN’ cắt d tại I

Trong tam giác N’IB có : N’B < IN’ + IB

Mà IA = IB (I thuộc trung trực của AB)

=> N’B < IN’ + NA => N’B < AN’

c) Vì LA < LB nên L không thuộc d, theo chứng minh câu b suy ra L thuộc P_A.

a)

- Ta có M nằm trên đường trung trực của AB nên MA = MB.

Vì M nằm giữa đoạn NB nên:

NB = NM + MB hay NB = NM + MA (vì MB = MA)

Vậy NB = NM + MA

- Trong ΔNMA có: NA < NM + MA

Vì NM + MA = NB nên NA < NB (đpcm).

b) Nối N'A cắt (d) tại P. Vì P nằm trên đường trung trực của đoạn AB nên: PA = PB

Ta có: N'A = N'P + PA = N'P + PB

Trong ΔN'PB ta có: N'B < N'P + PB

Do đó: N'B < N'A (đpcm)

c)

- Vì LA < LB nên L không thuộc đường trung trực d.

- Từ câu b) ta suy ra với điểm N' bất kì thuộc P_B thì ta có N'B < N'A. Do đó, để LA < LB thì L không thuộc P_B.

- Từ câu a) ta suy ra với điểm N bất kì thuộc P_A thì ta có NA < NB. Do đó, để LA < LB thì L thuộc P_A.

Nối MA, MB. Gọi C là giao điểm của MB với đường thẳng d, nối CA.

Ta có: MB = MC + CB

mà CA = CB (tính chất đường trung trực)

Suy ra: MB = MC + CA (1)

Trong ΔMAC ta có:

MA < MC + CA (bất đẳng thức tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MA < MB

Nối NA, NB. Gọi D là giao điểm của NA với đường thẳng d, nối DB.

Ta có: NA = ND + DA

mà DA = DB (tính chất đường trung trực)

Suy ra: NA = ND + DB (3)

Trong ΔNDB, ta có:

NB < ND + DB (bất đẳng thức tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: NA > NB

Theo phần a và b; với điểm H bất kì ta có:

+ Nếu H nằm trong phần PA thì HA < HB.

+ Nếu H nằm trong phần PB thì HB < HA.

+ Nếu H nằm trên đường thẳng d thì HA = HB (tính chất đường trung trực)

Do đó, để KA < KB thì K nằm trong phần PA.

Vì LA < LB nên L không thuộc d

Theo chứng minh câu b suy ra L không thuộc PB (vì nếu L thuộc PB thì LA > LB).

Vậy L thuộc PA.

c) Ta có EF là đường trung trực của PM ⇒ EP = EM ⇒ ∆ EPM cân tại E

Mặt khác EPM = ACM = 60^o (do AMPC là tứ giác nội tiếp) nên ∆ EPM đều

⇒ PE = PM . Tương tự PF = PM

Ta có CM // DB nên PCM = PBD

Mà BMPD là tứ giác nội tiếp nên  PBD = PMD. Suy ra PCM = PMD

Ta lại có CPM = DPM = 120^o ⇒ Δ C P M ~ Δ M P D ( g . g ) ⇒ C P M P = P M P D ⇒ C P P F = P E P D

Theo định lý Talét đảo ta có CE // DF ⇒ CDFE là hình thang.