Gọi G là giao điểm của AM và BN.

Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến: \(AM^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\);

\(BN^2=\dfrac{2c^2+2a^2-b^2}{4}\).

Từ đó \(AG^2=\dfrac{4}{9}AM^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{9}\); \(BG^2=\dfrac{4}{9}BN^2=\dfrac{2c^2+2a^2-b^2}{9}\).

Do đó \(AG^2+BG^2=\dfrac{a^2+b^2+4c^2}{9}=\dfrac{9c^2}{9}=c^2=AB^2\).

Theo định lý Pythagoras đảo thì tam giác AGB vuông tại G.

Vậy góc giữa 2 trung tuyến AM và BN là 90^o.

b24=GN2+4GM2" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline-table; float:none; line-height:normal; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax">b24=GN2+4GM2

c24=GM2+4GN2" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline; float:none; line-height:normal; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax">c24=GM2+4GN2

⇔c2=4GM2+16GN2⇔c2=4GM2+16GN2

Khi đó: 5a2=b2+c2(=20GN2+20GM2)5a2=b2+c2(=20GN2+20GM2).

P/s: Có sửa đề và t trình bày hơi tắt.

Study well 

Trả lời 

nếu nhìn  

ko rõ thì link đây

Câu hỏi của Nguyễn Thanh Hằng - Toán lớp 7 | Học trực tuyến

Ta có:

BM=MC=12BC(gt)BM=MC=12BC(gt)

⇒AC2=4AN2⇒AC2=4AN2

AN=NC=12AC(gt)AN=NC=12AC(gt)

⇒BC2=4BM2⇒BC2=4BM2

Bên cạnh đó, áp dụng tính chất trọng tâm, ta được:

AG=2GMAG=2GM

⇒AG2=4GM2⇒AG2=4GM2

BG=2GNBG=2GN

⇒BG2=4GN2⇒BG2=4GN2

Khi đó:

a2+b2a2+b2

=BC2+AC2=BC2+AC2

=4BM2+4AN2=4BM2+4AN2

=4(BG2+GM2)+4(AG2+GN2)(Pytago)=4(BG2+GM2)+4(AG2+GN2)(Pytago)

=4(BG2+AG2)+4GM2+4GN2=4(BG2+AG2)+4GM2+4GN2

=4AB2+AG2+BG2=4AB2+AG2+BG2

=4AB2+AB2=4AB2+AB2

=5AB2=5AB2

=5c2=5c2

Vậy a2+b2=5c2

câu 2 : 

a) có phải là chứng minh AM ⊥ BC không

xét ΔAMB và ΔAMC, ta có : 

AB = AC (2 cạnh bên của ΔABC cân tại A)

MB = MC (AM là đường trung tuyến của cạnh BC)

AM là cạnh chung

=> ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)

=> \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) (2 cạnh tương ứng)

mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^O\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^O}{2}=90^O\)

=> AM ⊥ BC

Xét tg AGB và tg AGC có

AB=AC

AG chung

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh)

=> tg AGB = tg AGC (c.g.c)

b/

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh)

\(\Rightarrow AM\perp BC\)

\(CI\perp BC\)

=> GM//CI mà MB=MC => GB=GI (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

Xét tg BCI có

MB=MC; GB=GI (cmt) => GM là đường trung bình của tg BCI

\(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{2}CI\Rightarrow CI=2GM\)

(Tự vẽ hình)

a)

Xét ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến

=> AM đồng thời là đường phân giác, đường cao của ΔABC

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\\GM\perp BC\end{matrix}\right.\)

Vì ΔABC cân tại A

=> AB = AC (Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔABG và ΔACG có:

AB = AC(cmt)

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\)(cmt)

AG chung

=> ΔABG = ΔACG(cgc)(đpcm)

b)

Có \(\left\{{}\begin{matrix}GM\perp BC\left(cmt\right)\\IC\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

=> GM // IC

Xét ΔBIG có M là trung điểm BC

Mà GM//IC

=> GM là đường trung bình của ΔBIC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}MG//IC\\IC=2.GM\left(dpcm\right)\end{matrix}\right.\)

c)

Có AG//IC(cmt)

=> \(\widehat{GAC}=\widehat{ICA}\)(2 góc so le trong)

Vì AM,BN là 2 đường trung tuyến của ΔABC

Mà AM cắt BN tại G

Nên G là trọng tâm ΔABC

=>AG = \(\dfrac{2}{3}\)AM

=>AG = 2.GM

Mà IC = 2.GM(cm câu b)

=> AG = IC

Xét ΔGAC và ΔICA có:

AG = IC(cmt)

\(\widehat{GAC}=\widehat{ICA}\)(cmt)

AN = NC(BN là đường trung tuyến)

=> ΔGAC = ΔICA(gcg)

=> AI = GC(2 cạnh tương ứng)

Mà ΔABG = ΔACG(cm câu a) => BG = CG

=> AI = BG(1)

Có \(\widehat{AGB}=\widehat{GBM}+\widehat{GMB}\)(góc ngoài tam giác)

=> \(\widehat{AGB}=\widehat{GBM}+90^0\)

=> \(\widehat{AGB}>90^0\)

=> Cạnh AB lớn nhất trong ΔABG

=> AB>BG(2)

Từ (1) và (2) => AB > AI

=> \(\widehat{AIB}>\widehat{ABI}\)