Lời giải:
Ta sử dụng các công thức hằng đẳng thức đáng nhớ:

\(A=x^3+y^3+z^3+kxyz=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3+kxyz\)

\(=(x+y)^3+z^3-3xy(x+y)+kxyz\)

\(=(x+y+z)^3-3(x+y)z^2-3(x+y)^2z-3xy(x+y)+kxyz\)

\(=(x+y+z)^3-3(x+y)z(z+x+y)-3xy(x+y+z)+(k+3)xyz\)

\(=(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+xz)+(k+3)xyz\)

\(=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)+(k+3)xyz\)

Vậy để \(A\vdots x+y+z\) thì \((k+3)xyz\vdots x+y+z, \forall x,y,z\)

Điều này xảy ra chỉ khi \(k+3=0\Leftrightarrow k=-3\)

gọi thương khi chia đa thức A cho x + y + z là Q, ta có :

x³ + y³ + z³ + kxyz = ( x + y + z ) . Q

đẳng thức trên đúng với mọi x,y,z nên với x = 1, y = 1, z = -2 ta có :

1 + 1 + ( -2 )³ + k . ( -2 ) = ( 1 + 1 - 2 ) . Q \(\Rightarrow\)-6 - 2k = 0 \(\Rightarrow\)k = -3

với k = -3 ta có : x³ + y³ + z³ - 3xyz chia hết cho x + y + z ( thương là x² + y² + z² - xy - yz - zx )

Vậy ...

gọi thương khi chia đa thức A cho x + y + z là Q ta có

x^3 =y^3+z^3 +kxyzz =(x + y +z) .Q

đẳng thức trên có thể đúng với các chữ như x,y,z nên x = 1y , 1z = -2 

nên : 

=>k = - 3 ta cs : x^ +y^3 +z^3 - 3xyz chia hết cho x =y +z (thườn là x2 + y2 -xy - z - zx)

Xem lại đề

Xem A là một đa thức theo x, kí hiệu \(A(x)\)

Vì \((x+y+z)=x-(-y-z)\)và \(A⋮(x+y+z)\)nên \(A(x)⋮\left[x-(-y-z)\right]\)

Suy ra \(A(-y-z)=0\Leftrightarrow(-y-z)^3+y^3+z^3+k(-y-z)yz=0\)

\(\Leftrightarrow-3yz(y+z)+k(-y-z)yz=0\Leftrightarrow-yz(y+z)(3+k)=0\)

Đẳng thức trên đúng \(\forall y,z\Leftrightarrow k=-3\)

\(A=x^3+y^3+z^3+kxyz\)

Thực hiện phép chia ta được

\(A=\left(x^3+y^3+z^3+kxyz\right)\div\left(x+y+z\right)\)

\(A=\left(x+y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz-yz\left(k+2\right)\right]-yz\left(x+z\right)\left(k+3\right)\)

Để phép chia hết thì: \(yz\left(x+z\right)\left(k+3\right)=0\)

Suy ra:
Suy ra: \(k=3\)

k = -3

Xin lỗi đáp án là âm 3, mình biết bị thíu

2/ Ta phân tích

ax³ + bx² + c = (x + 2)[a​x² + (b - 2a)x - 2(b - 2a)] + c + 4(b - 2a) = (x² - 1)(ax + b) + ax + b + c

Từ đó kết hợp với đề bài ta có hệ

\(\hept{\begin{cases}c+4\left(b-2a\right)=0\\a=1\\b+c=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=4\end{cases}}\)

Ta có A = (x + y)³ + z³ + kxyz - 3xy(x + y)

= (x + y + z)[(x + y)² - (x + y)z + z²] + xy(kz - 3x - 3y)

Nhìn vào cái này ta dễ thấy là để A chia hết cho x + y + z thì k = - 3

Bài toán này rất dễ 

bạn làm theo mình nha ;>

Ta có: x³+y³+z³+kxyz

=x³+3x²y+3xy²+y³-3x²y-3xy²+kxyz+z³  

=(x+y)³+z³-3xy(x+y)+kxyz 

=(x+y+z)[(x+y)²+(x+y)z+z²]-3xy(x+y)+kxyz

ta có: (x+y+z)[(x+y]²+(x+y)z+z²] chia hết cho x+y+z.

Để A chia hết cho x+y+z thì -3xy(x+y)+kxyz phải chia hết cho x+y+z

suy ra: k=-3 thì -3xy(x+y)-3xyz=-3xy(x+y+z);

vậy k=-3 thì a chia hết cho x+y+z

Câu hỏi của vuighe123_oribe - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Câu hỏi của Phạm Thị Quỳnh Tú - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Tham khảo

\(f\left(x,y,z\right)=x^3+y^3+z^3+kxyz\) sẽ chia hết cho \(x+y+z\) khi và chỉ khi \(f\left(-y-z,y,z\right)=0\).

Nghĩa là \(\left(-y-z\right)^3+y^3+z^3+k\left(-y-z\right)yz=0\)

Khai triển: \(-3yz\left(y+z\right)-k\left(y+z\right)yz=0\) hay \(k=3\).