x và y =14

Câu 2/ 

\(\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}+\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}=1\)

Điều kiện \(\hept{\begin{cases}x^2\ne0\\x^2+y^2\ne0\\x^2+y^2+z^2\ne0\end{cases}}\)

Xét \(x^2,y^2,z^2\ge1\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2\ge1\\x^2+y^2\ge2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^2\left(x^2+y^2\right)\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}\le\frac{1}{2}\left(1\right)\)

Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{6}\left(2\right)\\\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{3}\left(3\right)\end{cases}}\)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được

\(\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}+\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=1\)

Dấu = xảy ra  khi \(x^2=y^2=z^2=1\)

\(\Rightarrow\left(x,y,z\right)=?\)

Xét \(\hept{\begin{cases}x^2\ge1\\y^2=z^2=0\end{cases}}\) thì ta có

\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^4}=1\)

\(\Leftrightarrow x^4=3\left(l\right)\)

Tương tự cho 2 trường hợp còn lại: \(\hept{\begin{cases}x^2,y^2\ge1\\z^2=0\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}x^2,z^2\ge1\\y^2=0\end{cases}}\)

Bài 2/

Ta có:  \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{t}+\frac{t}{x}\ge4\sqrt[4]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{t}.\frac{t}{x}}=4>3\)

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương.

Em mới học lớp 5 thôi nên em không biết cái gì 

~~~ Chúc chị học giỏi ~~~

\(\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow4x+4y=xy\Leftrightarrow4x+4y-xy=0\Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow x.\left(4-y\right)-4.\left(4-y\right)=-16\Rightarrow\left(x-4\right).\left(4-y\right)=-16\)

vì x,y đóng vai trò như nhau nên \(\hept{\begin{cases}x-4=4\\4-y=-4\end{cases}\text{hoặc}\hept{\begin{cases}x-4=-4\\4-y=4\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=8\\x=y=0\left(\text{loại}\right)\end{cases}}}\)

bài còn lại t²

cho t sửa tí

\(\left(x-4\right).\left(4-y\right)=16\Rightarrow\left(x-4\right).\left(y-4\right)=16\)

bn tự lập bảng

p/s: x,y ko đóng vai trò như nhau :(((

Ta có\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\)(x;y > 0)

=> \(\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{3}\)

=> 3(x + y) = xy

=> 3x + 3y = xy

=> xy - 3x - 3y = 0

=> x(y - 3) - 3y + 9 = 9

=> x(y - 3) - 3(y - 3) = 9

=> (x - 3)(y - 3) = 9

Vì x;y > 0

=> x - 3 > -3 ; y - 3 > -3 (1)

mà 9 = 1.9 = (-1).(-9) = 3.3 = (-3).(-3) (2)

Từ (1)(2) 

=> x - 3 = 1 ; y - 3 = 9 

=> x = 4 ; y = 12

hoặc x = 12 ; y = 4

Vậy các cặp (x ; y) thỏa mãn là (4;12);(12;4)

Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)=xy\)

\(\Leftrightarrow3x+3y-xy=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(y-3\right)=9\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(y-3\right)=9=3.3=\left(-3\right).\left(-3\right)=1.9=9.1=\left(-1\right)\left(-9\right)=\left(-9\right)\left(-1\right)\)

\(th1\hept{\begin{cases}x-3=3\Leftrightarrow x=6\\y-3=3\Leftrightarrow y=6\end{cases}}\left(tm\right)\)

\(th2\hept{\begin{cases}x-3=-3\Leftrightarrow x=0\\y-3=-3\Leftrightarrow y=0\end{cases}}\left(ktm\right)\)

\(th3\hept{\begin{cases}x-3=1\Leftrightarrow x=4\\y-3=9\Leftrightarrow y=12\end{cases}}\left(tm\right)\)

\(th4\hept{\begin{cases}x-3=9\Leftrightarrow x=12\\y-3=1\Leftrightarrow y=4\end{cases}}\left(tm\right)\)

thử các cặp còn lại rồi kl

Do vai trò của \(x,\)\(y,\)\(z\) là như nhau nên giả sử \(z\ge y\ge x\ge1.\)
Ta sẽ thử trực tiếp một vài trường hợp: 
     \(-\) Nếu \(x=1\) thì \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\) ( vô nghiệm) 
     \(-\) Nếu \(x=2\) thì \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\)\(2y+2z=yz\) \(\Leftrightarrow\)  \(\left(y-2\right)\left(z-2\right)=4\)
       Mà \(0\le y-2\le z-2\)và \(4⋮\left(y-2\right),\) \(4⋮\left(z-2\right)\)
Do đó ta có các trường hợp: \(\hept{\begin{cases}y-2=1\rightarrow y=3\\z-2=4\rightarrow z=6\end{cases}}\)
                                           \(\hept{\begin{cases}y-2=2\rightarrow y=4\\z-2=2\rightarrow z=4\end{cases}}\)

     \(-\) Nếu \(x=3\) thì  \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{3}\)       + Nếu \(y=3\) thì \(z=3\)
                                                                              + Nều \(y\ge4\) thì \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}< \frac{1}{3}\)
                                                                                \(\Rightarrow\) phương trình vô nghiệm 
     \(-\)Nếu \(x=4\) thì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}< 1\)   \(\Rightarrow\) phương trình vô nghiệm 

         Vậy tóm lại phương trình đã cho có 10 nghiệm (bạn tự liệt kê)

Không mất tính tổng quát ta giả sử

\(x\ge y\ge z>0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{y}\le\frac{1}{z}\)

\(\Rightarrow1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}=\frac{3}{z}\)

\(\Rightarrow z\le3\)

\(\Rightarrow z=1;2;3\)

*Với z = 1 thì 

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=0\)(sai vì x, y nguyên dương)

*Với z = 2 thì

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{2}{y}\)

\(\Rightarrow y\le4\)

\(\Rightarrow y=1;2;3;4\)

+Với y = 1

\(\Rightarrow\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}\)(loại)

+Với y = 2 thì

\(\Rightarrow\frac{1}{x}=0\)(loại)

+Với y = 3 thì

\(\frac{1}{x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\)

\(\Rightarrow x=6\)

+Với y = 4 thì

\(\frac{1}{x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow x=4\)

*Với z = 3 thì

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{3}\le\frac{2}{y}\)

\(\Rightarrow y\le3\)

\(\Rightarrow y=1;2;3\)

+ Với y = 1 thì

\(\frac{1}{x}=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}\)(loại)

+ Với y = 2 thì

\(\frac{1}{x}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\)

\(\Rightarrow x=6\)

+ Với y = 3 thì

\(\frac{1}{x}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow x=3\)

Tới đây thì bạn tự kết luận nhé 

\(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow\frac{y-x}{xy}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow3y-3x=xy\Leftrightarrow3x+xy-3y=0\Leftrightarrow x\left(y+3\right)-3\left(y+3\right)=-9\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(y+3\right)=-9\)

Vì x,y nguyên nên x - 3 và y + 3 là ước của -9. Ta có bảng:

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là (x;y) = (2;6). 

x = 3; y = 6 

ko biet , chac sai roi vi tui moi hoc lop 4

nhân 2 vế với 3xy =>3y+3x=xy+3=>\(\left\{y-3\right\}\left\{x-3\right\}=12\)

=>y-3;x-3 thuộc ước 12={-12;-6;-4;-3;-2;-1;1;2;3;4;6;12}

Nhân cả hai vế với 3xy (Nhận được vì x , y nguyên dương) ta có: 

\(3y+3x=xy+3\Leftrightarrow3y-xy+3x-3=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(3-x\right)+3x-9+6=0\Leftrightarrow y\left(3-x\right)-3\left(3-x\right)=-6\)

\(\Leftrightarrow\left(y-3\right)\left(x-3\right)=6\)

Từ đó ta tìm được x ,y.

Chúc em học tốt :)

\(\frac{4y+2x}{xy}=1\)  <=>  \(4y+2x=xy\)

<=> \(4y-xy+2xy-8=-8\)

<=> \(y\left(4-x\right)-2\left(4-x\right)=-8\)

<=> \(\left(y-2\right)\left(4-x\right)=-8\)

Bạn giải tiếp nha !