a) Nếu n = 5k => n(n+5) = 5k.(5k + 5) = 25k(k+1) chia hết cho 25

Nếu n = 5k +1 => n(n + 5) = (5k + 1).(5k+6) = 5k.5k + 5k.6 + 1.5k + 6 = (25k² + 35k) + 6 không chia hết cho 5

Nếu n = 5k + 2 => n(n + 5) = (5k + 2)(5k + 7) = (25k² + 35k + 10k) + 14 không chia hết cho 5

Nếu n = 5k + 3 => n(n + 5) = (5k + 3)(5k + 8) = (25k² + 55k) + 24 không chia hết cho 5

Nếu n = 5k + 4 => n(n + 5) = (5k + 4).(5k + 9) = (25k² + 45k + 20k) + 36 không chia hết cho 5

Vậy với mọi n thì n(n+5) hoặc chia hết cho 25 hoặc không chia hết cho 5

b,c tương tự:

n=2 và 3

Ta có : \(25\le5^n\le125\left(n\in N\right)\)

\(\Rightarrow5^2\le5^n\le5^3\)

Do n là số tự nhiên nên, suy ra :

\(n=2;n=3\)

5² ≤ 5ⁿ ≤ 5³

=> 5² ≤ 5² hay 5³ ≤ 5³

Vậy n = 2 và 3

S = 5⁰ + 5¹ + 5² + ... + 5²⁰²³

= (5⁰ + 5¹) + (5² + 5³) + ... + (5²⁰²² + 5²⁰²³)

= 6 + 5².(1 + 5) + ... + 5²⁰²².(1 + 5)

= 6 + 5².6 + ... + 5²⁰²².6

= 6.(1 + 5² + ... + 5²⁰²²) ⋮ 6

Vậy S ⋮ 6

--------

Số số hạng của S:

2023 - 0 + 1 = 2024 (số)

2024 : 3 dư 2 nên khi nhóm các số hạng của S theo nhóm 3 thì dư 2 số hạng

Ta có:

S = 5⁰ + 5¹ + 5² + 5³ + ... + 5²⁰²³

= 5⁰ + 5¹ + (5² + 5³ + 5⁴) + (5⁵ + 5⁶ + 5⁷) + ... + (5²⁰²¹ + 5²⁰²² + 5²⁰²³)

= 6 + 5².(1 + 5 + 5²) + 5⁵.(1 + 5 + 5²) + ... + 5²⁰²¹.(1 + 5 + 5²)

= 6 + 5².31 + 5⁵.31 + ... + 5²⁰²¹.31

= 6 + 31.(5² + 5⁵ + ... + 5²⁰²¹)

Do 31.(5² + 5⁵ + ... + 5²⁰²¹) ⋮ 31

6 + 31.(5² + 5⁵ + ... + 5²⁰²¹) chia 31 dư 6

Vậy S chia 31 dư 6

------------

Sửa đề:

Tìm số tự nhiên n để 4S - 25² = -1

S = 5⁰ + 5¹ + 5² + 5³ + ... + 5²⁰²³

5S = 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5²⁰²⁴

⇒ 4S = 5S - S

= (5 + 5² + 5² + 5³ + ... + 5²⁰²⁴) - (1 + 5¹ + 5² + 5³ + ... + 5²⁰²³)

= 5²⁰²⁴ - 1

⇒ 4S - 25²ⁿ = -1

⇒ 5²⁰²⁴ - 1 - (5²)²ⁿ = -1

⇒ 5²⁰²⁴ - 5⁴ⁿ = -1 + 1

⇒ 5⁴ⁿ = 5²⁰²⁴

⇒ 4n = 2024

⇒ n = 2024 : 4

⇒ n = 506

\(S=\left(5^0+5^1\right)+\left(5^2+5^3\right)+...+\left(5^{2022}+5^{2023}\right)\\ =6+5^2\left(1+5\right)+...+5^{2022}\left(1+5\right)\\ =6+5^2.6+...+5^{2022}.6\\ =6\left(1+5^2+...+5^{2022}\right)⋮6\)

\(S=\left(5^0+5^1+5^2\right)+...+\left(5^{2021}+5^{2022}+5^{2023}\right)\\ =31+...+5^{2021}\left(1+5+5^2\right)\\ =31\left(1+...+5^{2021}\right)⋮31\)

=> Dư : 0

\(5S=5^1+5^2+5^3+5^4+...+5^{2024}\\ =>5S-S=4S=5^{2024}-1\)

Mà : \(4S-25^{2n}=1\\ =>5^{2024}-1-25^{2n}=1\\ =>5^{2024}-25^{2n}=2\)

Bạn xem lại đề nhé

Bạn đang tìm kiếm số tự nhiên n để biểu thức: sqrt(5 + sqrt(25 - n)) + sqrt(5 - sqrt(25 - n)) có giá trị nguyên. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của các số nguyên và căn bậc hai.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng nếu biểu thức trên có giá trị nguyên, thì cả hai căn bậc hai phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là 5 + sqrt(25 - n) và 5 - sqrt(25 - n) đều phải là bình phương của một số nguyên. Ta có thể viết lại hai biểu thức này như sau:

Trong đó a và b là các số nguyên. Từ đó, ta có:

Ta có thể giải hệ phương trình này để tìm a, b, và n. Đầu tiên, ta có:

Từ đó, ta suy ra:

Tương tự, ta có:

Do a và b là các số nguyên, ta có thể suy ra rằng sqrt(25 - n) phải là một số chẵn. Từ đó, ta có:

Với k là một số nguyên. Từ đó, ta suy ra:

Vậy để biểu thức sqrt(5 + sqrt(25 - n)) + sqrt(5 - sqrt(25 - n)) có giá trị nguyên, thì n phải là một số tự nhiên sao cho sqrt(25 - n) là một số chẵn. Các giá trị của n thỏa mãn điều kiện này là n = 3 và n = 7 1.

Vì vậy, để biểu thức sqrt(5 + sqrt(25 - n)) + sqrt(5 - sqrt(25 - n)) có giá trị nguyên, thì n phải là một trong hai số tự nhiên 3 hoặc 7.

Bạn đang tìm kiếm số tự nhiên n để biểu thức: sqrt(5 + sqrt(25 - n)) + sqrt(5 - sqrt(25 - n)) có giá trị nguyên. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của các số nguyên và căn bậc hai.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng nếu biểu thức trên có giá trị nguyên, thì cả hai căn bậc hai phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là 5 + sqrt(25 - n) và 5 - sqrt(25 - n) đều phải là bình phương của một số nguyên. Ta có thể viết lại hai biểu thức này như sau:

Trong đó a và b là các số nguyên. Từ đó, ta có:

Ta có thể giải hệ phương trình này để tìm a, b, và n. Đầu tiên, ta có:

Từ đó, ta suy ra:

Tương tự, ta có:

Do a và b là các số nguyên, ta có thể suy ra rằng sqrt(25 - n) phải là một số chẵn. Từ đó, ta có:

Với k là một số nguyên. Từ đó, ta suy ra:

Vậy để biểu thức sqrt(5 + sqrt(25 - n)) + sqrt(5 - sqrt(25 - n)) có giá trị nguyên, thì n phải là một số tự nhiên sao cho sqrt(25 - n) là một số chẵn. Các giá trị của n thỏa mãn điều kiện này là n = 3 và n = 7 1.

Vì vậy, để biểu thức sqrt(5 + sqrt(25 - n)) + sqrt(5 - sqrt(25 - n)) có giá trị nguyên, thì n phải là một trong hai số tự nhiên 3 hoặc 7.

2ⁿ = 32

2ⁿ = 2⁵

=> n = 5

27.3ⁿ = 243

3ⁿ = 9

3ⁿ = 3²

=> n = 2