ta áp dụng cô-si la ra 
a^2+b^2+c^2 ≥ ab+ac+bc 
̣̣(a - b)^2 ≥ 0 => a^2 + b^2 ≥ 2ab (1) 
(b - c)^2 ≥ 0 => b^2 + c^2 ≥ 2bc (2) 
(a - c)^2 ≥ 0 => a^2 + c^2 ≥ 2ac (3) 
cộng (1) (2) (3) theo vế: 
2(a^2 + b^2 + c^2) ≥ 2(ab+ac+bc) 
=> a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab+ac+bc 
dấu = khi : a = b = c

Bạn cm hộ mình cô si la dc k mình chưa học đến

xí câu 1:))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)

Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )

Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2

xin lỗi ko có hình mk ko thể

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac+2bc\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

a)Áp dụng BĐT AM-GM: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+c^2\ge2bc;c^2+a^2\ge2ca\)

Cộng theo vế suy ra \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra tại a = b = c

Điều cần chứng minh

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+c^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (Đúng với mọi a,b,c)

Bất đẳng thức cuốii đúng => đpcm