Câu hỏi của Nguyễn Hoài Nam

Question

CMR :

A = a^2+b^2+c^2

luôn lớn hơn bằng

B = ab+ac+bc

Trần Thanh Phương · Accepted Answer

Cách 1:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

$a^2+b^2\ge2ab$

$b^2+c^2\ge2bc$

$c^2+a^2\ge2ca$

Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức :

Ta được : $2\cdot A\ge2\cdot B\Leftrightarrow A\ge B$( đpcm )

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Cách 2:

$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca$

$\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0$

$\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0$( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$Câu trả lời: Cách 1:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

$a^2+b^2\ge2ab$

$b^2+c^2\ge2bc$

$c^2+a^2\ge2ca$

Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức :

Ta được : $2\cdot A\ge2\cdot B\Leftrightarrow A\ge B$( đpcm )

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Cách 2:

$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca$

$\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0$

$\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0$( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Ôn tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn