Question

Cho hbh ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.

a ) Tứ giác BEDF là hình gì ? Vì sao ?

b) CMR: CH.CD=CB.CK

c) CMR: AB.AH+AD.AK=AC^2.

Answer 1

a) Xét \(\Delta\) vuông \(AEB\) và \(\Delta\) vuông \(CFD\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB=CD\left(2\text{ cạnh đối hình bình hành }\right)\\\widehat{EAB}=\widehat{FCD}\left(2\text{ góc so le trong };AB//CD\right)\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\Delta\text{ vuông }AEB=\Delta\text{ vuông }CFD\left(ch-gn\right)\\ \Rightarrow EB=FD\left(2\text{ cạnh tương ứng }\right)\)

Mà \(EB//FD\left(cùng\text{ }\perp AC\right)\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác BEDF là hình bình hành ( Dấu hiệu nhận biết)

b) Xét \(\Delta CHB\) và \(\Delta CKD\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CHB}=\widehat{CKD}=90^0\left(gt\right)\\\widehat{CBH}=\widehat{CDK}\left(2\text{ góc đối hình bình hành }\right)\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\Delta CHB\sim\Delta CKD\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{CH}{CK}=\dfrac{CB}{CD}\left(\text{ các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ }\right)\\ \Rightarrow CH\cdot CD=CK\cdot CB\)

c)

Answer 2

c) Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta AHC\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AEB}=\widehat{AHC}=90^0\left(gt\right)\\\widehat{CAB}\text{ là góc }chung\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\Delta AEB\sim\Delta AHC\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AH}\\ \Rightarrow AB\cdot AH=AE\cdot AC\left(1\right)\)

Xét \(\Delta CEB\) và \(\Delta AKC\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CEB}=\widehat{AKC}=90^0\left(gt\right)\\\widehat{BCE}=\widehat{KAC}\left(2\text{ góc so le trong };AD//BC\right)\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\Delta CEB\sim\Delta AKC\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{CE}{AK}=\dfrac{BC}{AC}\\ \Rightarrow CE\cdot AC=AK\cdot BC\)

Mà \(AD=BC\left(2\text{ cạnh đối hình bình hành }\right)\)

\(\Rightarrow CE\cdot AC=AK\cdot AD\left(2\right)\)

\(\text{Từ }\left(1\right)\text{ và }\left(2\right)\Rightarrow AB\cdot AH+AK\cdot AD=AE\cdot AC+CE\cdot AC\\ =\left(AE+CE\right)AC=AC\cdot AC=AC^2\)