Question

cho a;b;c lần lượt là các số dương thoả mãn a+b+c=3

CMR:\(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2015}{ab+bc+ca}\ge672\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT SVacxo ta có:

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}\geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac+ab+bc+ac}=\frac{9}{(a+b+c)^2}=1(*)\)

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(a^2+b^2\geq 2ab; b^2+c^2\geq 2bc; a^2+c^2\geq 2ac\)

\(\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)\) (cộng 3 BĐT trên theo vế)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3\)

\(\Rightarrow \frac{2013}{ab+bc+ac}\geq \frac{2013}{3}=671(**)\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2015}{ab+bc+ac}\geq 1+671=672\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$